अर्धगोल म्हणजे काय ?
अर्धगोलाचा अभ्यास करताना खालील मुख्य घटकांचा समावेश होतो :
- वक्रपृष्ठफळ (Curved Surface Area - CSA): अर्धगोलाच्या केवळ गोलाकार बाह्य वक्राकार भागाचे क्षेत्रफळ ($2\pi r^2$).
- तळाचे क्षेत्रफळ (Base Area): अर्धगोलाचा सपाट वर्तुळाकार पृष्ठभाग ($\pi r^2$).
- एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area - TSA): वक्रपृष्ठफळ आणि सपाट तळाचे क्षेत्रफळ यांची बेरीज ($3\pi r^2$).
- घनफळ (Volume): अर्धगोलाने व्यापलेली एकूण जागा किंवा भांड्याची अंतर्गत धारकता ($\frac{2}{3}\pi r^3$).
या पोस्टमध्ये भरीव अर्धगोल, पोकळ अर्धगोलाकार वाटी (Hemispherical Shell) आणि धातू वितळवून नवीन आकार बनवणे यांवर आधारित 25+ पेक्षा जास्त महत्त्वाची प्रश्नोत्तरे सविस्तर स्पष्टीकरणासह समाविष्ट केली आहेत.
महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)
(येथे $r$ = त्रिज्या, $d$ = व्यास, $R$ = बाह्य त्रिज्या, $r$ = आंतरिक त्रिज्या, $\pi = \frac{22}{7}$ किंवा $3.14$)
- व्यास ($d$): $d = 2r$ किंवा $r = \frac{d}{2}$
- अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ (CSA): $2 \pi r^2$
- अर्धगोलाच्या तळाचे क्षेत्रफळ: $\pi r^2$
- भरीव अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ (TSA): $2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$
- अर्धगोलाचे घनफळ (Volume): $\frac{2}{3} \pi r^3$
- पोकळ अर्धगोलाचे आंतरिक वक्रपृष्ठफळ: $2 \pi r^2$
- पोकळ अर्धगोलाचे बाह्य वक्रपृष्ठफळ: $2 \pi R^2$
- पोकळ अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ: $2 \pi R^2 + 2 \pi r^2 + \pi (R^2 - r^2) = \pi (3R^2 + r^2)$
- पोकळ अर्धगोलामध्ये वापरलेल्या धातूचे घनफळ: $\frac{2}{3} \pi (R^3 - r^3)$
एका अर्धगोलाची त्रिज्या 7 cm आहे. त्याचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 2156/3 cm³
स्पष्टीकरण : दिलेली त्रिज्या, r = 7 cm.
अर्धगोलाच्या घनफळाचे सूत्र:
V = 2/3 πr³
म्हणून,
V = 2/3 × 22/7 × 7³
= 2/3 × 22/7 × 343
= 2 × 22 × 49 / 3 = 2156/3 cm³
म्हणून योग्य उत्तर 2156/3 cm³ आहे.
Shortcut Trick:
V(अर्धगोल) = 2/3 πr³
एका अर्धगोलाची त्रिज्या 14 cm आहे. त्याच्या वक्र पृष्ठफळाचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 1232 cm²
स्पष्टीकरण : दिलेली त्रिज्या, r = 14 cm.
अर्धगोलाच्या वक्र पृष्ठफळाचे सूत्र:
CSA = 2πr²
म्हणून,
CSA = 2 × 22/7 × 14²
= 2 × 22/7 × 196
= 2 × 22 × 28 = 1232 cm²
म्हणून योग्य उत्तर 1232 cm² आहे.
Shortcut Trick: अर्धगोलाचे वक्र पृष्ठफळ = पूर्ण गोलाच्या पृष्ठफळाचे निम्मे.
CSA = 2πr²
एका अर्धगोलाचा व्यास 28 cm आहे. त्याचे संपूर्ण पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 1848 cm²
स्पष्टीकरण : व्यास, d = 28 cm.
म्हणून त्रिज्या,
r = d/2 = 14 cm
अर्धगोलाच्या संपूर्ण पृष्ठफळाचे सूत्र:
TSA = 3πr²
म्हणून,
TSA = 3 × 22/7 × 14²
= 3 × 22/7 × 196
= 3 × 22 × 28 = 1848 cm²
वरील गणनेनुसार योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.
Shortcut Trick: अर्धगोलाचे संपूर्ण पृष्ठफळ:
TSA = 3πr²
एका अर्धगोलाचे घनफळ 4312/3 cm³ आहे. त्याची त्रिज्या किती ?
📋 योग्य उत्तर : प्रश्नातील आकडा व पर्याय यांच्यात विसंगती आहे.
स्पष्टीकरण : दिलेली माहिती:
V = 4312/3 cm³
अर्धगोलाच्या घनफळाचे सूत्र:
V = 2/3 πr³
म्हणून,
4312/3 = 2/3 × 22/7 × r³
दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणल्यास,
4312 = 44/7 × r³
r³ = 4312 × 7 / 44
r³ = 686
r = ∛686 ≈ 8.82 cm
त्यामुळे दिलेल्या पर्यायांपैकी कोणताही पर्याय अचूक नाही.
टीप: प्रश्न अचूक ठेवण्यासाठी घनफळ 12376/3 cm³ असणे आवश्यक आहे; त्या वेळी r = 13 cm येते.
एका अर्धगोलाकार भांड्याची आतील त्रिज्या 10.5 cm आहे. ते पूर्णपणे पाण्याने भरले असता त्याची क्षमता किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 2425.5 cm³
स्पष्टीकरण : दिलेली त्रिज्या:
r = 10.5 cm
अर्धगोलाच्या घनफळाचे सूत्र:
V = 2/3 πr³
V = 2/3 × 22/7 × (10.5)³
10.5 = 21/2
V = 2/3 × 22/7 × 9261/8
V = 2425.5 cm³
म्हणून भांड्याची क्षमता 2425.5 cm³ आहे.
Shortcut Trick: 10.5 = 21/2 असल्याने आधी r³ काढून मग 2/3 π ने गुणल्यास गणना सोपी होते.
एका अर्धगोलाची त्रिज्या 7 cm वरून 14 cm केली. त्याच्या घनफळात किती पट वाढ होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 8 पट
स्पष्टीकरण : अर्धगोलाचे घनफळ:
V = 2/3 πr³
म्हणून घनफळ त्रिज्येच्या घनाच्या प्रमाणात असते:
V ∝ r³
नवीन त्रिज्या = 2r
म्हणून,
V₂/V₁ = (14/7)³
= 2³ = 8
म्हणून नवीन घनफळ जुन्या घनफळाच्या 8 पट होईल.
Shortcut Trick: त्रिज्या n पट झाली तर घनफळ n³ पट होते.
एका अर्धगोलाचे वक्र पृष्ठफळ 308 cm² आहे. त्याची त्रिज्या किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 7 cm
स्पष्टीकरण : वक्र पृष्ठफळ:
CSA = 308 cm²
अर्धगोलाच्या वक्र पृष्ठफळाचे सूत्र:
CSA = 2πr²
म्हणून,
308 = 2 × 22/7 × r²
308 = 44/7 × r²
r² = 308 × 7 / 44 = 49
r = 7 cm
म्हणून योग्य उत्तर 7 cm आहे.
Shortcut Trick:
r = √(CSA / 2π)
एका अर्धगोलाचे संपूर्ण पृष्ठफळ 462 cm² आहे. त्याची त्रिज्या किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 7 cm
स्पष्टीकरण : अर्धगोलाचे संपूर्ण पृष्ठफळ:
TSA = 3πr²
दिल्याप्रमाणे,
462 = 3 × 22/7 × r²
462 = 66/7 × r²
r² = 462 × 7 / 66 = 49
r = 7 cm
म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.
एका घनाचा आकार 14 cm बाजू असलेला आहे. त्या घनातून जास्तीत जास्त आकाराचा अर्धगोल कापला तर अर्धगोलाची त्रिज्या किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 7 cm
स्पष्टीकरण : घनाची बाजू:
a = 14 cm
जास्तीत जास्त आकाराचा अर्धगोल काढण्यासाठी त्याचा व्यास घनाच्या बाजूइतका असेल.
म्हणून,
d = 14 cm
त्रिज्या:
r = d/2 = 14/2 = 7 cm
म्हणून योग्य उत्तर 7 cm आहे.
Shortcut Trick: जास्तीत जास्त अर्धगोल कापताना:
व्यास = घनाची बाजू
एका अर्धगोलाचा त्रिज्या 6 cm आहे. त्याचे संपूर्ण पृष्ठफळ आणि वक्र पृष्ठफळ यांतील फरक किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 36π cm²
स्पष्टीकरण : अर्धगोलाचे संपूर्ण पृष्ठफळ:
TSA = 3πr²
वक्र पृष्ठफळ:
CSA = 2πr²
फरक:
TSA - CSA = 3πr² - 2πr²
= πr²
येथे r = 6 cm.
फरक = π × 6² = 36π cm²
म्हणून योग्य उत्तर 36π cm² आहे.
Shortcut Trick: अर्धगोलाच्या TSA आणि CSA मधील फरक नेहमी त्याच्या सपाट वर्तुळाकार तळाच्या क्षेत्रफळाइतका असतो:
TSA - CSA = πr²
एका अर्धगोलाचे घनफळ 1800π cm³ आहे. त्याची त्रिज्या किती ?
📋 योग्य उत्तर : प्रश्नातील आकडा व पर्याय यांच्यात विसंगती आहे.
स्पष्टीकरण : अर्धगोलाचे घनफळ:
V = 2/3 πr³
दिल्याप्रमाणे,
1800π = 2/3 πr³
दोन्ही बाजूंना π ने भाग:
1800 = 2/3 r³
r³ = 1800 × 3/2 = 2700
येथे 2700 हा कोणत्याही दिलेल्या पर्यायाच्या घनाशी जुळत नाही.
प्रश्न अचूक करण्यासाठी घनफळ 2250π cm³ घेतल्यास:
r³ = 2250 × 3/2 = 3375 = 15³
त्यामुळे r = 15 cm.
एका अर्धगोलाकार घुमटाचा बाहेरील व्यास 42 m आहे. त्यावर रंग देण्यासाठी प्रति m² ₹12 खर्च येतो. संपूर्ण बाहेरील वक्र पृष्ठभाग रंगविण्याचा एकूण खर्च किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | ₹33264
स्पष्टीकरण : व्यास:
d = 42 m
त्रिज्या:
r = 21 m
अर्धगोलाचे वक्र पृष्ठफळ:
CSA = 2πr²
= 2 × 22/7 × 21²
= 2 × 22 × 63 = 2772 m²
प्रति m² रंगकामाचा खर्च = ₹12.
एकूण खर्च:
2772 × 12 = 33264
म्हणून योग्य उत्तर ₹33264 आहे.
Shortcut Trick: प्रथम CSA काढा आणि नंतर:
एकूण खर्च = क्षेत्रफळ × दर
समान त्रिज्या असलेल्या एका पूर्ण गोलाचे घनफळ आणि एका अर्धगोलाचे घनफळ यांचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 2:1
स्पष्टीकरण : पूर्ण गोलाचे घनफळ:
Vₛ = 4/3 πr³
अर्धगोलाचे घनफळ:
Vₕ = 2/3 πr³
म्हणून गुणोत्तर:
Vₛ : Vₕ = 4/3 πr³ : 2/3 πr³
समान घटक रद्द केल्यास:
= 4:2 = 2:1
म्हणून योग्य उत्तर 2:1 आहे.
Shortcut Trick: अर्धगोल हा पूर्ण गोलाचा अर्धा असल्याने समान त्रिज्येसाठी घनफळाचे गुणोत्तर थेट 2:1.
एका अर्धगोलाची त्रिज्या 10 cm आहे. त्याच्या सपाट वर्तुळाकार तळाच्या क्षेत्रफळाचे वक्र पृष्ठफळाशी गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 1:2
स्पष्टीकरण : सपाट वर्तुळाकार तळाचे क्षेत्रफळ:
A = πr²
अर्धगोलाचे वक्र पृष्ठफळ:
CSA = 2πr²
म्हणून गुणोत्तर:
A : CSA = πr² : 2πr²
समान घटक रद्द केल्यावर:
= 1:2
म्हणून योग्य उत्तर 1:2 आहे.
Shortcut Trick: अर्धगोलाचे वक्र पृष्ठफळ हे त्याच्या तळाच्या क्षेत्रफळाच्या दुप्पट असते.
दोन अर्धगोलांची त्रिज्या अनुक्रमे 3 cm आणि 6 cm आहे. त्यांच्या घनफळांची बेरीज आणि मोठ्या अर्धगोलाच्या घनफळाचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 9:8
स्पष्टीकरण : अर्धगोलाचे घनफळ:
V = 2/3 πr³
पहिल्या अर्धगोलासाठी:
V₁ = 2/3 π(3)³
V₁ = 2/3 π × 27 = 18π
दुसऱ्या अर्धगोलासाठी:
V₂ = 2/3 π(6)³
V₂ = 2/3 π × 216 = 144π
दोन्ही घनफळांची बेरीज:
V₁ + V₂ = 18π + 144π = 162π
आता बेरीज : मोठ्या अर्धगोलाचे घनफळ:
162π : 144π
= 162:144
दोन्हींना 18 ने भाग:
= 9:8
म्हणून योग्य उत्तर 9:8 आहे.
Shortcut Trick: समान आकाराच्या घनफळांसाठी:
V ∝ r³
म्हणून त्रिज्यांचे घन:
3³:6³ = 27:216 = 1:8
मोठ्या अर्धगोलाचे घनफळ 8 भाग मानल्यास लहानाचे 1 भाग. त्यामुळे बेरीज 1 + 8 = 9 भाग आणि मोठे 8 भाग:
9:8
एका अर्धगोलाची त्रिज्या $21$ सेमी आहे, तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ $= 2\pi r^2$
येथे $r = 21$ सेमी
वक्रपृष्ठफळ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$= 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 44 \times 63 = 2772$ चौ.सेमी.
एका भरीव अर्धगोलाची त्रिज्या $14$ सेमी असल्यास त्याचे एकूण पृष्ठफळ किती होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
भरीव अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ $= 3\pi r^2$
येथे $r = 14$ सेमी
एकूण पृष्ठफळ $= 3 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$
$= 3 \times 22 \times 2 \times 14 = 66 \times 28 = 1848$ चौ.सेमी.