दंडगोलाचे घनफळ व पृष्ठफळ | Cylinder Volume & Surface Area
दंडगोल (Cylinder) ही भूमितीमधील एक अत्यंत महत्त्वाची त्रिमितीय (3D) आकृती आहे. स्पर्धा परीक्षा जसे की MPSC, तलाठी भरती, पोलीस भरती, SSC आणि रेल्वे भरतीमध्ये या घटकावर हमखास प्रश्न विचारले जातात. या पोस्ट मध्ये दंडगोलाची महत्त्वाची सूत्रे आणि त्यावर आधारित 40+ बहुपर्यायी (MCQs) प्रश्न दिलेले आहेत
महत्त्वाची सूत्रे
समजा दंडगोलाच्या तळाची त्रिज्या = r आणि उंची = h आहे:
- दंडगोलाचे वक्रपृष्ठफळ (Curved Surface Area): 2πrh
- दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area): 2πr(r + h)
- दंडगोलाचे घनफळ (Volume): πr²h
- दंडगोलाच्या तळाचे क्षेत्रफळ (Base Area): πr²
- तळाचा परीघ (Base Circumference): 2πr
- (टीप : सामान्यतः π चे मूल्य 22/7 किंवा 3.14 मानले जाते)
एका दंडगोलाच्या तळाची त्रिज्या 7 cm आणि उंची 10 cm आहे, तर त्याचे एकूण पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 748 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : एकूण पृष्ठफळ = $2\pi r(r + h) = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 10) = 44 \times 17 = 748$ चौ.सेमी.
एका दंडगोलाकर पाण्याच्या टाकीची त्रिज्या 14 मीटर आणि उंची 5 मीटर आहे, तर त्या टाकीत किती लीटर पाणी मावेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 3080000 लीटर
स्पष्टीकरण : घनफळ = $\pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 5 = 3080$ घनमीटर. एकूण पाणी = $3080 \times 1000 = 3080000$ लीटर.
एका दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठफळाचे क्षेत्रफळ 880 चौ.सेमी. आहे आणि याची उंची 10 सेमी आहे, तर त्याची त्रिज्या किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 14 सेमी
स्पष्टीकरण : त्रिज्या ($r$) = $\frac{\text{वक्रपृष्ठफळ}}{2\pi h} = \frac{880 \times 7}{2 \times 22 \times 10} = 14$ सेमी.
दोन दंडगोलांच्या त्रिज्येचे गुणोत्तर 2:3 आणि त्यांच्या उंचीचे गुणोत्तर 5:4 आहे, तर त्यांच्या घनफळांचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 5:9
स्पष्टीकरण : घनफळांचे गुणोत्तर = $(\frac{r_1}{r_2})^2 \times \frac{h_1}{h_2} = (\frac{2}{3})^2 \times \frac{5}{4} = \frac{4}{9} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{9}$ म्हणजेच 5:9.
एका दंडगोलाची त्रिज्या दुप्पट केली आणि उंची निम्मी केली, तर नवीन दंडगोलाचे घनफळ मूळ घनफळाच्या किती पट होईल
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | दुप्पट
स्पष्टीकरण : नवीन घनफळ = $\pi (2r)^2 \times (\frac{h}{2}) = \pi \times 4r^2 \times \frac{h}{2} = 2\pi r^2 h$ (मूळ घनफळाच्या दुप्पट).
एका रोड रोलरचा (दंडगोल) व्यास 84 सेमी आणि लांबी 120 सेमी आहे. एका मैदानाचे सपाटीकरण करण्यासाठी रोलरला 500 फेरे पूर्ण करावे लागतात, तर मैदानाचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 1584 चौ.मी.
स्पष्टीकरण : $r = 0.42$ मी, $h = 1.2$ मी. वक्रपृष्ठफळ = $2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 1.2 = 3.168$ चौ.मी. मैदान = $3.168 \times 500 = 1584$ चौ.मी.
एका दंडगोलाकार खांबाचे वक्रपृष्ठफळ 264 चौ.मी. असून त्याचे घनफळ 924 घनमीटर आहे, तर त्या खांबाची उंची किती
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 6 मीटर
स्पष्टीकरण : $\frac{\text{घनफळ}}{\text{वक्रपृष्ठफळ}} = \frac{\pi r^2 h}{2\pi rh} \rightarrow \frac{924}{264} = \frac{r}{2} \rightarrow r = 7$ मी. उंची ($h$) = $\frac{264}{2 \times \frac{22}{7} \times 7} = 6$ मीटर.
22 सेमी $\times$ 12 सेमी आकाराचा एक आयताकृती कागद लांबीच्या बाजूने दुमडून एक दंडगोल तयार केला, तर त्या दंडगोलाचे वक्रपृष्ठफळ किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 264 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : कागदाचे क्षेत्रफळ म्हणजेच दंडगोलाचे वक्रपृष्ठफळ असते = $\text{लांबी} \times \text{रुंदी} = 22 \times 12 = 264$ चौ.सेमी.
एका दंडगोलाच्या तळाचा परिघ 44 सेमी असून त्याची उंची 20 सेमी आहे, तर त्याचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 3080 घनसेमी.
स्पष्टीकरण : $2\pi r = 44 \rightarrow r = 7$ सेमी. घनफळ = $\pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 20 = 3080$ घनसेमी.
7 सेमी त्रिज्या आणि 20 सेमी उंची असलेल्या धातूच्या दंडगोलाला वितळवून 2 सेमी त्रिज्या असलेले लहान गोल तयार केले, तर एकूण किती गोल तयार होतील
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 92
स्पष्टीकरण : संख्या = $\frac{\text{दंडगोलाचे घनफळ}}{\text{गोलाचे घनफळ}} = \frac{\pi \times 7 \times 7 \times 20}{\frac{4}{3}\pi \times 2^3} = \frac{980 \times 3}{32} \approx 91.87 \rightarrow 92$ गोल.
दोने समान उंची असलेल्या दंडगोलांच्या वक्रपृष्ठफळांचे गुणोत्तर 4:5 आहे, तर त्यांच्या घनफळांचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 16:25
स्पष्टीकरण : उंची समान असल्याने त्रिज्येचे गुणोत्तर 4:5 होईल. घनफळांचे गुणोत्तर = $(\frac{r_1}{r_2})^2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25}$.
एका बंदिस्त दंडगोलाकृती पिंपाची त्रिज्या 21 सेमी आणि वक्रपृष्ठफळ 1320 चौ.सेमी. आहे, तर त्याचे एकूण पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 4092 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ + $2\pi r^2 = 1320 + 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 1320 + 2772 = 4092$ चौ.सेमी.
एका दंडगोलाची उंची 14 सेमी असून त्याचे वक्रपृष्ठफळ आणि एकूण पृष्ठफळ यांमधील फरक 308 चौ.सेमी. आहे, तर त्याचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 2156 घनसेमी.
स्पष्टीकरण : फरक = $2\pi r^2 = 308 \rightarrow r = 7$ सेमी. घनफळ = $\pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 14 = 2156$ घनसेमी.
एका पोकळ दंडगोलाची बाह्य त्रिज्या 5 सेमी, अंतर्त्रिज्या 3 सेमी आणि उंची 10 सेमी आहे, तर त्यात वापरलेल्या धातूचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 160$\pi$ घनसेमी.
स्पष्टीकरण : घनफळ = $\pi (R^2 - r^2)h = \pi \times (5^2 - 3^2) \times 10 = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi$ घनसेमी.
जर एका दंडगोलाचे घनफळ आणि वक्रपृष्ठफळ यांचे संख्यात्मक मूल्य समान असेल, तर त्या दंडगोलाचा व्यास किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 4 युनिट्स
स्पष्टीकरण : $\pi r^2 h = 2\pi rh \rightarrow r = 2$ युनिट्स. व्यास = $2 \times 2 = 4$ युनिट्स.
एका दंडगोलाची त्रिज्या 7 cm आणि उंची 10 cm आहे, तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 440 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण : वक्रपृष्ठफळ = $2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 440$ चौ.सेमी.
एका दंडगोलाचे घनफळ 1540 घन सेमी असून याची त्रिज्या 7 cm आहे, तर याची उंची किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 10 सेमी
स्पष्टीकरण : उंंची ($h$) = $\frac{\text{घनफळ}}{\pi r^2} = \frac{1540}{\frac{22}{7} \times 7 \times 7} = \frac{1540}{154} = 10$ सेमी.
एका वृत्तचितीची त्रिज्या 14 सेंटीमीटर व उंची 30 सेंटीमीटर आहे तर तिचे घनफळ काढा ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 18480 घन सेंटीमीटर
स्पष्टीकरण : वृत्तचितीचे घनफळ काढण्याचे सूत्र: घनफळ = π × r2 × h
येथे r = 14 सेंटीमीटर, h = 30 सेंटीमीटर आणि π = 22 ÷ 7.
घनफळ = 22 ÷ 7 × 14 × 14 × 30
14 ÷ 7 = 2
घनफळ = 22 × 2 × 14 × 30
= 44 × 14 × 30
= 616 × 30
= 18480 घन सेंटीमीटर
म्हणून योग्य उत्तर = 18480 घन सेंटीमीटर.
Key Points :
◾ वृत्तचितीचे घनफळ = π × r2 × h
◾ येथे π = 22 ÷ 7 घेतल्यामुळे गणना सोपी होते.
◾ r = 14 असल्यामुळे 14 ÷ 7 करून गणना जलद करता येते.
एका टाकीची त्रिज्या 14 सेंटीमीटर व उंची 30 सेंटीमीटर आहे तर त्या टाकीत किती लिटर पाणी मावेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 18.48 लिटर
स्पष्टीकरण : टाकीचा आकार दंडगोलाकार असल्यामुळे दंडगोलाचे घनफळ काढावे.
दंडगोलाचे घनफळ = π × r2 × h
येथे r = 14 सेंटीमीटर, h = 30 सेंटीमीटर आणि π = 22 ÷ 7.
घनफळ = 22 ÷ 7 × 14 × 14 × 30 = 18480 घन सेंटीमीटर.
आता 1000 घन सेंटीमीटर = 1 लिटर.
म्हणून 18480 घन सेंटीमीटर = 18480 ÷ 1000 = 18.48 लिटर.
म्हणून योग्य उत्तर = 18.48 लिटर.
Key Points :
◾ 1 लिटर = 1000 घन सेंटीमीटर
◾ घन सेंटीमीटरचे लिटरमध्ये रूपांतर करण्यासाठी 1000 ने भाग द्यावा.
◾ दंडगोलाचे घनफळ = π × r2 × h
एका वृत्तचितीची त्रिज्या 7 सेंटीमीटर असून उंची 15 सेंटीमीटर आहे तर तिचे वक्रपृष्ठफळ व एकूण पृष्ठफळ काढा
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | वक्रपृष्ठफळ = 660 चौरस सेंटीमीटर, एकूण पृष्ठफळ = 968 चौरस सेंटीमीटर
स्पष्टीकरण : वक्रपृष्ठफळ काढण्यासाठी सूत्र: वक्रपृष्ठफळ = 2 × π × r × h.
येथे r = 7 सेंटीमीटर, h = 15 सेंटीमीटर आणि π = 22 ÷ 7.
वक्रपृष्ठफळ = 2 × 22 ÷ 7 × 7 × 15 = 2 × 22 × 15 = 660 चौरस सेंटीमीटर.
आता एकूण पृष्ठफळ = 2 × π × r × (r + h).
= 2 × 22 ÷ 7 × 7 × (7 + 15)
= 44 × 22
= 968 चौरस सेंटीमीटर.
म्हणून वक्रपृष्ठफळ = 660 चौरस सेंटीमीटर आणि एकूण पृष्ठफळ = 968 चौरस सेंटीमीटर.
Key Points :
◾ वक्रपृष्ठफळ = 2 × π × r × h
◾ एकूण पृष्ठफळ = 2 × π × r × (r + h)
◾ r = 7 असल्यास π × r = 22
7 मीटर त्रिज्या व 20 मीटर उंची असलेला एक धातूचा दंडगोल बनवण्यासाठी किती पत्रा लागेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 1188 चौरस मीटर
स्पष्टीकरण : धातूचा बंद दंडगोल बनवण्यासाठी त्याचे एकूण पृष्ठफळ आवश्यक असेल.
एकूण पृष्ठफळ = 2 × π × r × (r + h)
येथे r = 7 मीटर, h = 20 मीटर आणि π = 22 ÷ 7.
एकूण पृष्ठफळ = 2 × 22 ÷ 7 × 7 × (7 + 20)
= 44 × 27
= 1188 चौरस मीटर.
म्हणून योग्य उत्तर = 1188 चौरस मीटर.
Key Points :
◾ बंद दंडगोलासाठी पत्र्याचे क्षेत्रफळ = एकूण पृष्ठफळ
◾ एकूण पृष्ठफळ = 2 × π × r × (r + h)
◾ r = 7 असल्यामुळे π × r = 22
एका वृत्तचितीचे घनफळ 2772 घन सेंटीमीटर व उंची 18 सेंटीमीटर आहे तर त्या वृत्तचितीची तळाची त्रिज्या काढा
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 7 सेंटीमीटर
स्पष्टीकरण : दंडगोलाचे घनफळ = π × r2 × h.
दिलेल्याप्रमाणे 2772 = 22 ÷ 7 × r2 × 18.
म्हणून r2 = 2772 × 7 ÷ (22 × 18).
2772 ÷ 18 = 154.
म्हणून r2 = 154 × 7 ÷ 22 = 7 × 7 = 49.
म्हणून r = √49 = 7 सेंटीमीटर.
त्यामुळे तळाची त्रिज्या = 7 सेंटीमीटर.
Key Points :
◾ घनफळ = π × r2 × h
◾ त्रिज्या = √(घनफळ ÷ (π × h))
◾ r2 मिळाल्यानंतर त्याचे वर्गमूळ घेतल्यास त्रिज्या मिळते.
एका दंडगोलाचे घनफळ 385 घन सेंटीमीटर व त्रिज्या 3.5 सेंटीमीटर आहे तर दंडगोलाची उंची काढा ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 10 सेंटीमीटर
स्पष्टीकरण : दंडगोलाचे घनफळ = π × r2 × h.
दिलेल्याप्रमाणे 385 = 22 ÷ 7 × 3.5 × 3.5 × h.
3.5 = 7 ÷ 2 असे लिहिता येते.
म्हणून 385 = 22 ÷ 7 × 7 ÷ 2 × 7 ÷ 2 × h.
एक 7 रद्द केल्यावर 385 = 22 × 7 × h ÷ 4.
385 × 4 = 154h.
1540 = 154h.
म्हणून h = 1540 ÷ 154 = 10 सेंटीमीटर.
म्हणून दंडगोलाची उंची = 10 सेंटीमीटर.
Key Points :
◾ उंची = घनफळ ÷ (π × r2)
◾ 3.5 = 7 ÷ 2 असे रूपांतर केल्यास गणना सोपी होते.
◾ उत्तराची एकक सेंटीमीटर असेल.
एका दंडगोलाची उंची 14 सेंटीमीटर आहे व वक्रपृष्ठफळ 264 चौरस सेंटीमीटर आहे तर त्याचे घनफळ काढा ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 396 घन सेंटीमीटर
स्पष्टीकरण : वक्रपृष्ठफळ = 2 × π × r × h.
दिलेल्याप्रमाणे 264 = 2 × 22 ÷ 7 × r × 14.
14 ÷ 7 = 2.
म्हणून 264 = 2 × 22 × 2 × r = 88r.
r = 264 ÷ 88 = 3 सेंटीमीटर.
आता दंडगोलाचे घनफळ = π × r2 × h.
= 22 ÷ 7 × 3 × 3 × 14
14 ÷ 7 = 2
= 22 × 3 × 3 × 2
= 44 × 9
= 396 घन सेंटीमीटर.
म्हणून योग्य उत्तर = 396 घन सेंटीमीटर.
Key Points :
◾ वक्रपृष्ठफळ = 2 × π × r × h
◾ घनफळ = π × r2 × h
◾ प्रथम वक्रपृष्ठफळाच्या सूत्रातून त्रिज्या काढावी आणि नंतर घनफळाच्या सूत्रात ती किंमत वापरावी.
एका दंडगोलाच्या तळाची त्रिज्या $7\text{ cm}$ आणि उंची $10\text{ cm}$ आहे, तर त्याचे एकूण पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ $= 2\pi r(r + h)$
येथे त्रिज्या ($r$) $= 7\text{ cm}$, उंची ($h$) $= 10\text{ cm}$
एकूण पृष्ठफळ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 10)$
$= 44 \times 17 = 748$ चौ.सेमी.
एका दंडगोलाकार पाण्याच्या टाकीची त्रिज्या $14$ मीटर आणि उंची $5$ मीटर आहे, तर त्या टाकीत किती लीटर पाणी मावेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
दंडगोलाचे घनफळ $= \pi r^2 h$
येथे $r = 14$ मी, $h = 5$ मी
घनफळ $= \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 5 = 22 \times 2 \times 14 \times 5 = 3080$ घनमीटर
$1$ घनमीटर $= 1000$ लीटर, म्हणून एकूण पाणी $= 3080 \times 1000 = 3080000$ लीटर.
एका दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठफळाचे क्षेत्रफळ $880$ चौ.सेमी. आहे आणि त्याची उंची $10$ सेमी आहे, तर त्याची त्रिज्या किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
दंडगोलाचे वक्रपृष्ठफळ $= 2\pi r h$
$880 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10$
$880 = \frac{440}{7} \times r$
$r = \frac{880 \times 7}{440} = 2 \times 7 = 14$ सेमी.
दोन दंडगोलांच्या त्रिज्येचे गुणोत्तर $2:3$ आणि त्यांच्या उंचीचे गुणोत्तर $5:4$ आहे, तर त्यांच्या घनफळांचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
घनफळांचे गुणोत्तर $= \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \frac{h_1}{h_2}$
$= \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{5}{4} = \frac{4}{9} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{9}$ म्हणजेच गुणोत्तर $5:9$ असेल.
एका दंडगोलाची त्रिज्या दुप्पट केली आणि उंची निम्मी केली, तर नवीन दंडगोलाचे घनफळ मूळ घनफळाच्या किती पट होईल
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
मूळ घनफळ $= \pi r^2 h$
नवीन त्रिज्या $= 2r$, नवीन उंची $= \frac{h}{2}$
नवीन घनफळ $= \pi (2r)^2 \times \left(\frac{h}{2}\right) = \pi \times 4r^2 \times \frac{h}{2} = 2\pi r^2 h$
म्हणजेच नवीन घनफळ मूळ घनफळाच्या दुप्पट होईल.
एका रोड रोलरचा (दंडगोल) व्यास $84$ सेमी आणि लांबी $120$ सेमी आहे. एका मैदानाचे सपाटीकरण करण्यासाठी रोलरला $500$ फेरे पूर्ण करावे लागतात, तर मैदानाचे क्षेत्रफळ किती
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
व्यास $= 84$ सेमी $\rightarrow$ त्रिज्या ($r$) $= 42$ सेमी $= 0.42$ मी, लांबी ($h$) $= 120$ सेमी $= 1.2$ मी
ролерचे वक्रपृष्ठफळ ($1$ फेऱ्यातील जागा) $= 2\pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 1.2 = 3.168$ चौ.मी.
$500$ फेऱ्यांमधील क्षेत्रफळ $= 3.168 \times 500 = 1584$ चौ.मी.
एका दंडगोलाकार खांबाचे वक्रपृष्ठफळ $264$ चौ.मी. असून त्याचे घनफळ $924$ घनमीटर आहे, तर त्या खांबाची उंची किती
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
$\frac{\text{घनफळ}}{\text{वक्रपृष्ठफळ}} = \frac{\pi r^2 h}{2\pi r h} = \frac{r}{2}$
$\frac{924}{264} = \frac{r}{2} \rightarrow 3.5 = \frac{r}{2} \rightarrow r = 7$ मीटर
वक्रपृष्ठफळ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times h = 264 \rightarrow 44 \times h = 264 \rightarrow h = 6$ मीटर.
$22$ सेमी $\times 12$ सेमी आकाराचा एक आयताकृती कागद लांबीच्या बाजूने दुमडून एक दंडगोल तयार केला, तर त्या दंडगोलाचे वक्रपृष्ठफळ किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
आयताकृती कागद दुमडून दंडगोल बनवल्यास, कागदाचे क्षेत्रफळ हेच त्या दंडगोलाचे वक्रपृष्ठफळ असते.
वक्रपृष्ठफळ $=$ आयताचे क्षेत्रफळ $= \text{लांबी} \times \text{रुंदी} = 22 \times 12 = 264$ चौ.सेमी.
एका दंडगोलाच्या तळाचा परिघ $44$ सेमी असून त्याची उंची $20$ सेमी आहे, तर त्याचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
तळाचा परिघ $= 2\pi r = 44 \rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = 44 \rightarrow r = 7$ सेमी
दंडगोलाचे घनफळ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 20$
$= 154 \times 20 = 3080$ घनसेमी.
$7$ सेमी त्रिज्या आणि $20$ सेमी उंची असलेल्या धातूच्या दंडगोलाला वितळवून $2$ सेमी त्रिज्या असलेले लहान गोल तयार केले, तर एकूण किती गोल तयार होतील
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
दंडगोलाचे घनफळ $= \pi \times 7 \times 7 \times 20 = 980\pi$
एका गोलाचे घनफळ $= \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times 2^3 = \frac{32}{3}\pi$
गोलांची संख्या $= \frac{980\pi}{\frac{32}{3}\pi} = \frac{980 \times 3}{32} = \frac{2940}{32} \approx 91.87 \rightarrow$ सुमारे $92$ गोल.
एका दंडगोलाची त्रिज्या $7\text{ cm}$ आणि उंची $10\text{ cm}$ आहे, तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
दंडगोलाचे वक्रपृष्ठफळ $= 2\pi r h$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 44 \times 10 = 440$ चौ.सेमी.
एका दंडगोलाचे घनफळ $1540$ घन सेमी असून त्याची त्रिज्या $7\text{ cm}$ आहे, तर त्याची उंची किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
दंडगोलाचे घनफळ $= \pi r^2 h$
$1540 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times h$
$1540 = 154 \times h \rightarrow h = \frac{1540}{154} = 10$ सेमी.
दोन समान उंची असलेल्या दंडगोलांच्या वक्रपृष्ठफळांचे गुणोत्तर $4:5$ आहे, तर त्यांच्या घनफळांचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
उंची समान असल्याने ($h_1 = h_2$), वक्रपृष्ठफळांचे गुणोत्तर त्यांच्या त्रिज्येच्या गुणोत्तराएवढेच असेल ($\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{5}$).
घनफळांचे गुणोत्तर $= \frac{\pi r_1^2 h}{\pi r_2^2 h} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.
एका बंदिस्त दंडगोलाकृती पिंपाची त्रिज्या $21$ सेमी आणि वक्रपृष्ठफळ $1320$ चौ.सेमी. आहे, तर त्याचे एकूण पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
एकूण पृष्ठफळ $=$ वक्रपृष्ठफळ $+ 2 \times \text{तळाचे क्षेत्रफळ} = 2\pi r h + 2\pi r^2$
येथे वक्रपृष्ठफळ ($2\pi r h$) $= 1320$ चौ.सेमी. दिले आहे.
$2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2772$ चौ.सेमी.
एकूण पृष्ठफळ $= 1320 + 2772 = 4092$ चौ.सेमी.
एका दंडगोलाची उंची $14$ सेमी असून त्याचे वक्रपृष्ठफळ आणि एकूण पृष्ठफळ यांमधील फरक $308$ चौ.सेमी. आहे, तर त्याचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
एकूण पृष्ठफळ आणि वक्रपृष्ठफळ यांतील फरक $= 2\pi r^2$ असतो.
$2\pi r^2 = 308 \rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 308$
$r^2 = \frac{308 \times 7}{44} = 49 \rightarrow r = 7$ सेमी
घनफळ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 14 = 154 \times 14 = 2156$ घनसेमी.
एका पोकळ दंडगोलाची बाह्य त्रिज्या $5$ सेमी, अंतर्त्रिज्या $3$ सेमी आणि उंची $10$ सेमी आहे, तर त्यात वापरलेल्या धातूचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
पोकळ दंडगोलाचे घनफळ $= \pi (R^2 - r^2) h$
येथे बाह्य त्रिज्या ($R$) $= 5$ सेमी, अंतर्त्रिज्या ($r$) $= 3$ सेमी, उंची ($h$) $= 10$ सेमी.
घनफळ $= \pi \times (5^2 - 3^2) \times 10 = \pi \times (25 - 9) \times 10 = 160\pi$ घनसेमी.
जर एका दंडगोलाचे घनफळ आणि वक्रपृष्ठफळ यांचे संख्यात्मक मूल्य समान असेल, तर त्या दंडगोलाचा व्यास किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या अटीनुसार: घनफळ $=$ वक्रपृष्ठफळ
$\pi r^2 h = 2\pi r h$
दोन्ही बाजूंचे $\pi$, $r$ आणि $h$ भागल्यास: $r = 2$ युनिट्स (त्रिज्या)
व्यास $= 2 \times r = 2 \times 2 = 4$ युनिट्स.