विषमभुज त्रिकोण म्हणजे काय ?
विषमभुज त्रिकोणाचे प्रमुख गुणधर्म व संकल्पना :
- त्रिकोणाच्या तिन्ही आंतरकोनांची बेरीज नेहमी $180^\circ$ असते.
- कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज ही नेहमी तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असते ($a + b > c, b + c > a, a + c > b$).
- कोणत्याही दोन बाजूंची वजाबाकी (फरक) ही नेहमी तिसऱ्या बाजूपेक्षा लहान असते ($|a - b| < c$).
- परिमिती: तिन्ही बाजूंची एकूण बेरीज ($P = a + b + c$).
- हेरॉनचे सूत्र (Heron's Formula): जेव्हा त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू दिलेल्या असतात आणि उंची माहीत नसते, तेव्हा क्षेत्रफळ काढण्यासाठी अर्धपरिमिती ($s$) काढून हेरॉनचे सूत्र वापरले जाते.
या पोस्टमध्ये विषमभुज त्रिकोणाची परिमिती, क्षेत्रफळ, हेरॉनचे सूत्र, पाया व लंब उंची, आंतरत्रिज्या, परित्रिज्या आणि शेकडा बदलावर आधारित 20+ पेक्षा जास्त महत्त्वाची प्रश्नोत्तरे सविस्तर स्पष्टीकरणासह समाविष्ट केली आहेत.
महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)
(येथे $a, b, c$ = त्रिकोणाच्या तीन बाजू, $s$ = अर्धपरिमिती, $h$ = लंब उंची)
- विषमभुज त्रिकोणाची परिमिती (Perimeter): $P = a + b + c$
- अर्धपरिमिती (Semi-perimeter - $s$): $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{P}{2}$
- हेरॉनचे सूत्र (Heron's Formula for Area): $$A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$
- पाया व उंची दिली असता क्षेत्रफळ: $A = \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची} = \frac{1}{2} \times b \times h$
- क्षेत्रफळावरून कोणत्याही बाजूवरील लंब उंची (Height): $h_a = \frac{2A}{a}$, $h_b = \frac{2A}{b}$, $h_c = \frac{2A}{c}$
- विषमभुज त्रिकोणाच्या आंतरवर्तुळाची त्रिज्या (Inradius - $r$): $r = \frac{A}{s} = \frac{\text{क्षेत्रफळ}}{\text{अर्धपरिमिती}}$
- विषमभुज त्रिकोणाच्या परिवर्तुळाची त्रिज्या (Circumradius - $R$): $R = \frac{a \times b \times c}{4A}$
एका विषमभुज त्रिकोणाच्या बाजू 13 cm, 14 cm आणि 15 cm आहेत. त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 84 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
सूत्र : हेरॉनचे सूत्र, क्षेत्रफळ = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]
Step 1 : अर्धपरिमिती काढू. s = (a + b + c) / 2 s = (13 + 14 + 15) / 2 s = 42 / 2 = 21 cm
Step 2 : सूत्रात किंमती ठेवू. क्षेत्रफळ = √[21 × (21 - 13) × (21 - 14) × (21 - 15)]
Step 3 : वजाबाकी करू. क्षेत्रफळ = √(21 × 8 × 7 × 6)
Step 4 : गुणाकार करू. 21 × 8 = 168 7 × 6 = 42 168 × 42 = 7056
Step 5 : वर्गमूळ काढू. √7056 = 84
म्हणून योग्य उत्तर = 84 चौ.सेमी
Shortcut / Trick : 13, 14, 15 या प्रसिद्ध त्रिकोणासाठी हेरॉन सूत्र वापरल्यास s = 21 येते आणि क्षेत्रफळ थेट √7056 = 84 चौ.सेमी मिळते.
एका विषमभुज त्रिकोणाच्या बाजू 7 cm, 8 cm आणि 9 cm आहेत. त्याची अर्धपरिमिती किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 12 cm
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : a = 7 cm, b = 8 cm, c = 9 cm
सूत्र : s = (a + b + c) / 2
Step 1 : तीनही बाजूंची बेरीज करू. 7 + 8 + 9 = 24 cm
Step 2 : बेरजेला 2 ने भाग देऊ. s = 24 / 2 s = 12 cm
म्हणून योग्य उत्तर = 12 cm
Shortcut / Trick : अर्धपरिमिती म्हणजे तीनही बाजूंच्या बेरजेची अर्धी. 24 ची अर्धी = 12 cm.
एका विषमभुज त्रिकोणाचा पाया 15 cm आणि त्यावरील उंची 8 cm आहे. त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 60 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : पाया = 15 cm, उंची = 8 cm
सूत्र : क्षेत्रफळ = 1/2 × पाया × उंची
Step 1 : दिलेल्या किंमती सूत्रात ठेवू. क्षेत्रफळ = 1/2 × 15 × 8
Step 2 : 8 ला 2 ने भाग देऊ. 8 / 2 = 4
Step 3 : आता 15 × 4 करू. 15 × 4 = 60
म्हणून योग्य उत्तर = 60 चौ.सेमी
Shortcut / Trick : क्षेत्रफळ = पाया × उंची / 2. 15 × 8 = 120 आणि 120 / 2 = 60 चौ.सेमी.
एका विषमभुज त्रिकोणाच्या बाजू 10 cm, 17 cm आणि 21 cm आहेत. हेरॉनच्या सूत्रानुसार त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 84 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : a = 10 cm, b = 17 cm, c = 21 cm
सूत्र : क्षेत्रफळ = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]
Step 1 : अर्धपरिमिती काढू. s = (10 + 17 + 21) / 2 s = 48 / 2 = 24 cm
Step 2 : सूत्रात किंमती ठेवू. क्षेत्रफळ = √[24 × (24 - 10) × (24 - 17) × (24 - 21)]
Step 3 : साधीकरण करू. क्षेत्रफळ = √(24 × 14 × 7 × 3)
Step 4 : गुणाकार करू. 24 × 14 = 336 7 × 3 = 21 336 × 21 = 7056
Step 5 : वर्गमूळ काढू. √7056 = 84
म्हणून योग्य उत्तर = 84 चौ.सेमी
Shortcut / Trick : s = 24 मिळाल्यावर चार संख्या 24, 14, 7, 3 येतात. त्यांचा गुणाकार 7056 असून √7056 = 84.
एका विषमभुज त्रिकोणाची परिमिती 36 cm आहे. त्याच्या दोन बाजू 11 cm आणि 13 cm असतील, तर तिसरी बाजू किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 12 cm
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : परिमिती = 36 cm, पहिली बाजू = 11 cm, दुसरी बाजू = 13 cm
सूत्र : परिमिती = a + b + c
Step 1 : सूत्रात दिलेल्या किंमती ठेवू. 36 = 11 + 13 + c
Step 2 : ज्ञात बाजूंची बेरीज करू. 11 + 13 = 24
Step 3 : तिसरी बाजू काढू. c = 36 - 24 c = 12 cm
Step 4 : पडताळणी करू. 11 + 13 + 12 = 36 cm
म्हणून योग्य उत्तर = 12 cm
Shortcut / Trick : तिसरी बाजू = परिमिती - इतर दोन बाजू. 36 - 11 - 13 = 12 cm.
एका विषमभुज त्रिकोणाच्या बाजू 5 cm, 6 cm आणि 7 cm आहेत. त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 6√3 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm
सूत्र : क्षेत्रफळ = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]
Step 1 : अर्धपरिमिती काढू. s = (5 + 6 + 7) / 2 s = 18 / 2 = 9 cm
Step 2 : सूत्रात किंमती ठेवू. क्षेत्रफळ = √[9 × (9 - 5) × (9 - 6) × (9 - 7)]
Step 3 : वजाबाकी करू. क्षेत्रफळ = √(9 × 4 × 3 × 2)
Step 4 : गुणाकार करू. 9 × 4 × 3 × 2 = 216
क्षेत्रफळ = √216
Step 5 : 216 चे अवयव करू. 216 = 36 × 6
म्हणून, √216 = √(36 × 6) = 6√6 चौ.सेमी
म्हणून योग्य उत्तर = 6√6 चौ.सेमी
Shortcut / Trick : येथे दिलेल्या पर्यायांमध्ये योग्य मूल्य 6√6 चौ.सेमी आहे. त्यामुळे पर्याय तपासताना 6√6 हेच योग्य उत्तर आहे.
एका विषमभुज त्रिकोणाच्या बाजू 9 cm, 10 cm आणि 17 cm आहेत. त्याची अर्धपरिमिती किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 18 cm
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : a = 9 cm, b = 10 cm, c = 17 cm
सूत्र : s = (a + b + c) / 2
Step 1 : बाजूंची बेरीज करू. 9 + 10 + 17 = 36 cm
Step 2 : 2 ने भाग देऊ. s = 36 / 2 s = 18 cm
म्हणून योग्य उत्तर = 18 cm
Shortcut / Trick : अर्धपरिमिती = परिमिती / 2. येथे परिमिती 36 cm आहे, म्हणून 36 / 2 = 18 cm.
एका विषमभुज त्रिकोणाचा पाया 24 cm आणि उंची 15 cm आहे. त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 180 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : पाया = 24 cm, उंची = 15 cm
सूत्र : क्षेत्रफळ = 1/2 × पाया × उंची
Step 1 : किंमती सूत्रात ठेवू. क्षेत्रफळ = 1/2 × 24 × 15
Step 2 : 24 ला 2 ने भाग देऊ. 24 / 2 = 12
Step 3 : 12 × 15 करू. 12 × 15 = 180
म्हणून योग्य उत्तर = 180 चौ.सेमी
Shortcut / Trick : 24 × 15 = 360. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आयताच्या निम्मे असल्यामुळे 360 / 2 = 180 चौ.सेमी.
एका विषमभुज त्रिकोणाच्या बाजू 13 cm, 20 cm आणि 21 cm आहेत. त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 126 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : a = 13 cm, b = 20 cm, c = 21 cm
सूत्र : क्षेत्रफळ = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]
Step 1 : अर्धपरिमिती काढू. s = (13 + 20 + 21) / 2 s = 54 / 2 = 27 cm
Step 2 : सूत्रात किंमती ठेवू. क्षेत्रफळ = √[27 × (27 - 13) × (27 - 20) × (27 - 21)]
Step 3 : वजाबाकी करू. क्षेत्रफळ = √(27 × 14 × 7 × 6)
Step 4 : गुणाकार करू. 27 × 14 = 378 7 × 6 = 42 378 × 42 = 15876
Step 5 : वर्गमूळ काढू. √15876 = 126
म्हणून योग्य उत्तर = 126 चौ.सेमी
Shortcut / Trick : s = 27 घेतल्यावर घटक 27, 14, 7, 6 मिळतात. त्यांचा गुणाकार 15876 आणि त्याचे वर्गमूळ 126 आहे.
एका विषमभुज त्रिकोणाच्या दोन बाजू 12 cm आणि 15 cm असून तिसरी बाजू 17 cm आहे. या त्रिकोणाची परिमिती किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 44 cm
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या बाबी : पहिली बाजू = 12 cm, दुसरी बाजू = 15 cm, तिसरी बाजू = 17 cm
सूत्र : परिमिती = a + b + c
Step 1 : तीनही बाजूंची बेरीज करू. 12 + 15 + 17
Step 2 : प्रथम दोन बाजूंची बेरीज करू. 12 + 15 = 27
Step 3 : तिसरी बाजू जोडू. 27 + 17 = 44 cm
म्हणून योग्य उत्तर = 44 cm
Shortcut / Trick : त्रिकोणाची परिमिती म्हणजे सर्व बाजूंची सरळ बेरीज. 12 + 15 + 17 = 44 cm.