समचलन आणि व्यस्तचलन - Introduction to Direct and Inverse Proportion
अंकगणितामध्ये (Arithmetic) समचलन आणि व्यस्तचलन (Direct and Inverse Proportion) हा अतिशय मूलभूत आणि स्पर्धा परीक्षांच्या दृष्टीने सर्वाधिक विचारला जाणारा घटक आहे. दैनंदिन जीवनातील खरेदी-विक्री, मजुरी, कामाचे दिवस, वाहनाचा वेग व लागणारा वेळ यांसारख्या अनेक संकल्पना समचलन आणि व्यस्तचलन (Samachalan ani Vyastachalan) यावरच आधारित असतात.
1. समचलन (Direct Proportion / Samachalan) :
जेव्हा दोन चलांपैकी एका चलाच्या मूल्यात वाढ झाली असता दुसऱ्या चलाच्या मूल्यातही त्याच प्रमाणात वाढ होते, किंवा एका चलाचे मूल्य कमी झाले असता दुसऱ्याचे मूल्यही त्याच प्रमाणात कमी होते, तेव्हा त्या दोन चलांमध्ये 'समचलन' असते. समचलनात दोन्ही चलांचे गुणोत्तर (Ratio) नेहमी स्थिर (Constant) असते.
उदा. वस्तूंची संख्या वाढल्यास त्यांची एकूण किंमत वाढते; कामाचे तास वाढल्यास मजुरी वाढते.
2. व्यस्तचलन (Inverse Proportion / Vyastachalan) :
जेव्हा दोन चलांपैकी एका चलाच्या मूल्यात वाढ झाली असता दुसऱ्या चलाचे मूल्य त्याच प्रमाणात कमी होते, किंवा एकाचे मूल्य कमी झाले असता दुसऱ्याचे मूल्य वाढते, तेव्हा त्या दोन चलांमध्ये 'व्यस्तचलन' असते. व्यस्तचलनात दोन्ही चलांचा गुणाकार (Product) नेहमी स्थिर (Constant) असतो.
उदा. वाहनाचा वेग वाढल्यास प्रवासाचा वेळ कमी होतो; कामगारांची संख्या वाढल्यास काम पूर्ण होण्यासाठी लागणारे दिवस कमी होतात
या सर्वसमावेशक प्रश्नसंचामध्ये Samachalan Prashnasanch & Vyastachalan Prashnasanch स्पर्धा परीक्षांच्या (MPSC, TCS/IBPS, पोलीस भरती, तलाठी) काठिण्यपातळीनुसार 30+ पेक्षा जास्त समचलन व व्यस्तचलन प्रश्न Proportion Questions and Answers with Step by Step Solution सोडवून दिलेले आहेत.
जर x आणि y सम चलनात असतील आणि x = 15 असताना y = 30 असेल, तर x = 10 असताना y ची किंमत किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण : सम चलनात भागाकार स्थिर असतो ($\frac{x}{y} = k$).
म्हणून, $\frac{15}{30} = \frac{10}{y}$
$15 \times y = 10 \times 30$
$y = \frac{300}{15} = 20$.
a ∝ 1/b जर a = 6 असताना b = 4 असेल, तर b = 8 असताना a ची किंमत किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण : व्यस्त चलनात गुणाकार स्थिर असतो ($a \times b = k$).
स्थिरांक $k = 6 \times 4 = 24$.
आता $b = 8$ असताना, $a \times 8 = 24 \rightarrow a = \frac{24}{8} = 3$.
जर m ∝ n आणि m = 154 असताना n = 7 असेल, तर n = 14 असताना m ची किंमत शोधा ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण : $m \propto n \rightarrow \frac{m}{n} = k$ (स्थिरांक).
$k = \frac{154}{7} = 22$.
आता $n = 14$ असताना, $m = 22 \times 14 = 308$.
एका वर्तुळाची त्रिज्या आणि त्याचा परीघ यात कोणते चलन असते ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण : वर्तुळाच्या परिघाचे सूत्र $C = 2\pi r$ आहे. यामध्ये $2\pi$ स्थिरांक आहे. म्हणजेच त्रिज्या ($r$) वाढली की परीघ ($C$) सुद्धा वाढतो. म्हणून यात 'सम चलन' असते.
x हा y च्या व्यस्त चलनात आहे. जेव्हा x = 20, तेव्हा y = 600. जर x = 400 असेल, तर y किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण : व्यस्त चलनात गुणाकार स्थिर असतो ($x \times y = k$).
स्थिरांक $k = 20 \times 600 = 12000$.
आता $x = 400$ असताना, $400 \times y = 12000 \rightarrow y = \frac{12000}{400} = 30$.
जर y ∝ x आणि x = 5 असताना y = 20, तर चलनाचा स्थिरांक (k) किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण : $y \propto x \rightarrow y = kx \rightarrow k = \frac{y}{x}$.
म्हणून, $k = \frac{20}{5} = 4$.
व्यस्त चलनामध्ये x आणि y यांचा ________ स्थिर असतो
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण : व्यस्त चलनाची व्याख्याच अशी आहे की, जेव्हा एका चलाची किंमत वाढते तेव्हा दुसऱ्याची कमी होते, परंतु त्यांचा गुणाकार ($x \times y = k$) नेहमी स्थिर राहतो.
p हा q शी व्यस्त चलनात आहे. p = 15 असताना q = 4 आहे. जर p = 10 असेल तर q = ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण : व्यस्त चलनात $p \times q = k$.
स्थिरांक $k = 15 \times 4 = 60$.
आता $p = 10$ असताना, $10 \times q = 60 \rightarrow q = \frac{60}{10} = 6$.
सम चलनामध्ये x आणि y यांचा ________ स्थिर असतो
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण : सम चलनामध्ये ($x \propto y$) दोन्ही चलांचे गुणोत्तर म्हणजेच त्यांचा भागाकार ($\frac{x}{y} = k$) नेहमी स्थिर असतो.
एका सायकलस्वाराचा वेग आणि त्याने कापलेले अंतर यात कोणते चलन असते (वेळ स्थिर असताना) ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण : सूत्र: $\text{अंतर} = \text{वेग} \times \text{वेळ}$. जर वेळ स्थिर असेल, तर वेग वाढवला की तेवढ्याच वेळात जास्त अंतर कापले जाईल. दोन्ही घटक एकाच दिशेने बदलतात, म्हणून हे 'सम चलन' आहे.
x आणि y व्यस्त चलनात आहेत. x = 8, y = 10. जर y = 5 असेल, तर x = ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण : व्यस्त चलनात गुणाकार स्थिर असतो: $x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2$.
$8 \times 10 = x \times 5 \rightarrow 80 = 5x \rightarrow x = \frac{80}{5} = 16$.
जर x ∝ 1/y आणि x = 40 असताना y = 5 असेल, तर x = 10 असताना y ची किंमत किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण : $x \propto \frac{1}{y}$ म्हणजे व्यस्त चलन. गुणाकार स्थिर असेल: $40 \times 5 = 10 \times y$.
$200 = 10y \rightarrow y = \frac{200}{10} = 20$.
एका वर्तुळाचा परीघ आणि त्याचा व्यास यामध्ये कोणते चलन असते ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण : वर्तुळाचा परीघ $C = \pi d$ (जिथे $d = \text{व्यास}$) असतो. $\pi$ हा स्थिरांक असल्यामुळे व्यास वाढला की परीघ वाढतो आणि व्यास कमी झाला की परीघ कमी होतो. म्हणून हे 'सम चलन' आहे.
जर m ∝ n आणि m = 25 असताना n = 100 असेल, तर m = 10 असताना n ची किंमत काय ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण : सम चलनात भागाकार स्थिर असतो: $\frac{m_1}{n_1} = \frac{m_2}{n_2}$.
$\frac{25}{100} = \frac{10}{n} \rightarrow \frac{1}{4} = \frac{10}{n} \rightarrow n = 10 \times 4 = 40$.
जर एका चौरसाची बाजू दुप्पट केली, तर त्याच्या परिमितीत कोणते बदल होतील ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण : चौरसाची परिमिती $= 4 \times \text{बाजू}$. परिमिती आणि बाजू यांच्यात सम चलन असते. त्यामुळे बाजू दुप्पट केल्यास परिमिती देखील 'दुप्पट' होईल.
x आणि y सम चलनात आहेत आणि चलनाचा स्थिरांक k = 5 आहे. जर x = 12 असेल, तर y = ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण : सामान्यतः सम चलनाचे समीकरण $y = kx$ असे मांडले जाते.
म्हणून, $y = 5 \times 12 = 60$.
p आणि q व्यस्त चलनात आहेत. चलनाचा स्थिरांक 120 आहे. जर p = 10 असेल, तर q किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण : व्यस्त चलनात गुणाकार स्थिरांकाएवढा असतो ($p \times q = k$).
$10 \times q = 120 \rightarrow q = \frac{120}{10} = 12$.
एका आयताचे क्षेत्रफळ स्थिर असल्यास, त्याची लांबी आणि रुंदी यामध्ये कोणते चलन असते ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण : आयताचे क्षेत्रफळ $= \text{लांबी} \times \text{रुंदी}$. क्षेत्रफळ स्थिर (constant) असेल तर लांबी वाढवल्यास रुंदी कमी करावी लागेल जेणेकरून क्षेत्रफळ तेवढेच राहील. गुणाकार स्थिर असल्याने हे 'व्यस्त चलन' आहे.
जर चलनाचा गुणाकार स्थिर असेल (x × y = k), तर ते कोणत्या प्रकारचे चलन असते ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण : जेव्हा दोन चलांचा गुणाकार नेहमी एकच स्थिर संख्या येतो, तेव्हा त्या दोन चलांमध्ये 'व्यस्त चलन' (Inverse Variation) असते.
x ∝ 1/y आणि चलनाचा स्थिरांक 60 आहे. जर x = 12 असेल, तर y = ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण : व्यस्त चलनात $x \times y = k$ असते.
$12 \times y = 60 \rightarrow y = \frac{60}{12} = 5$.
महत्त्वाची सूचना 🔊 या सराव प्रश्नसंचामधील सर्व प्रश्न विविध संदर्भग्रंथ, मागील परीक्षांच्या प्रश्नपत्रिका आणि उपलब्ध शैक्षणिक स्रोतांच्या आधारे तयार करण्यात आले आहेत. प्रश्नांची उदाहरणे, आकडेवारी, सूत्रे व सोडवण्याच्या पद्धती यांची शक्य तितकी अचूकता राखण्याचा प्रयत्न करण्यात आला आहे. तरीही प्रश्न तयार करताना किंवा माहिती संकलन प्रक्रियेत चूक, टायपो, गणिती मांडणीतील त्रुटी किंवा उत्तरामध्ये फरक आढळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. जर या गणित प्रश्नसंचामध्ये कोणतीही चूक, अपूर्ण माहिती, चुकीचे उत्तर किंवा उत्तर सोडवण्याच्या पद्धतीमध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया खाली कमेंट बॉक्समध्ये नक्की कळवा, जेणेकरून आवश्यक ती दुरुस्ती करता येईल.