काटकोन त्रिकोण म्हणजे काय ?
काटकोन त्रिकोणाचे प्रमुख गुणधर्म :
- एका कोनाचे माप $90^\circ$ असते आणि उरलेले दोन कोन लघुकोन असून त्यांची बेरीज $90^\circ$ (कोटीकोन) असते.
- पायथागोरसचा सिद्धांत: $\text{कर्ण}^2 = \text{पाया}^2 + \text{उंची}^2$ ($c^2 = a^2 + b^2$).
- परिमिती: तीनही बाजूंची बेरीज ($a + b + c$).
- क्षेत्रफळ: $\frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची}$.
- काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाचा मध्यबिंदू हा त्याच्या परिवर्तुळाचा केंद्रबिंदू असतो, त्यामुळे परिवर्तुळाची त्रिज्या ही कर्णाच्या निम्मी ($R = \frac{c}{2}$) असते.
या लेखात काटकोन त्रिकोणाची परिमिती, क्षेत्रफळ, समद्विभुज काटकोन त्रिकोण, कर्णावरील लंब, आंतरवर्तुळ-परिवर्तुळ आणि शाब्दिक उदाहरणांवर आधारित 20+ पेक्षा जास्त महत्त्वाची प्रश्नोत्तरे सविस्तर स्पष्टीकरणासह समाविष्ट केली आहेत.
महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)
(येथे $a$ = पाया (Base), $b$ = लंब उंची (Height), $c$ = कर्ण (Hypotenuse))
- पायथागोरस सिद्धांत: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
- काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ (Area): $A = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची}$
- काटकोन त्रिकोणाची परिमिती (Perimeter): $P = a + b + c$
- समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ: $A = \frac{1}{2} a^2 = \frac{c^2}{4}$ (कारण $a = b$)
- समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण: $c = a\sqrt{2}$
- समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाची परिमिती: $P = 2a + a\sqrt{2} = a(2 + \sqrt{2})$
- काटकोनातून कर्णावर टाकलेल्या लंबाची लांबी ($p$): $p = \frac{a \times b}{c} = \frac{\text{पाया} \times \text{उंची}}{\text{कर्ण}}$
- आंतरवर्तुळाची त्रिज्या (Inradius - $r$): $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{\text{क्षेत्रफळ}}{\text{अर्धपरिमिती}}$
- परिवर्तुळाची त्रिज्या (Circumradius - $R$): $R = \frac{c}{2} = \frac{\text{कर्ण}}{2}$
- महत्त्वाची पायथागोरस त्रिकुटे (Triplets): $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(7, 24, 25)$, $(8, 15, 17)$, $(9, 40, 41)$, $(11, 60, 61)$, $(12, 35, 37)$, $(20, 21, 29)$
एका काटकोन त्रिकोणाचा पाया 12 cm आणि उंची 5 cm आहे, तर त्याचा कर्ण किती cm असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 13 cm
स्पष्टीकरण : पायथागोरसच्या सिद्धांतानुसार: $\text{कर्ण}^2 = \text{पाया}^2 + \text{उंची}^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \rightarrow \text{कर्ण} = \sqrt{169} = 13$ cm.
एका काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण 25 सेमी आणि पाया 7 सेमी असल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 84 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : $\text{उंची} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ सेमी. क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$ चौ.सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाची परिमिती 60 सेमी असून त्याचा कर्ण 26 सेमी आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 120 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : उरलेल्या बाजूंची बेरीज = $60 - 26 = 34$ सेमी. $26$ कर्ण असलेले पायथागोरसचे त्रिकूट $10, 24, 26$ आहे. क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120$ चौ.सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 30 चौ.सेमी असून त्याचा पाया 5 सेमी आहे, तर काटकोन करणाऱ्या दुसऱ्या बाजूची लांबी किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 12 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{क्षेत्रफळ} = \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{दुसरी बाजू} \rightarrow 30 = \frac{1}{2} \times 5 \times \text{दुसरी बाजू} \rightarrow \text{दुसरी बाजू} = \frac{30 \times 2}{5} = 12$ सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण 10 सेमी असून त्याचा एक कोन 45° चा आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 25 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : कोन 45° असल्यामुळे हा समद्विभुज काटकोन त्रिकोण आहे. $\text{बाजू} = \frac{\text{कर्ण}}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}}$. क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times (\frac{10}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{100}{2} = 25$ चौ.सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणात काटकोन करणाऱ्या बाजू 9:12 या प्रमाणात असून त्याचे क्षेत्रफळ 54 चौ.सेमी आहे, तर त्याचा कर्ण किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 15 सेमी
स्पष्टीकरण : बाजू $9x$ आणि $12x$ मानू. $\text{क्षेत्रफळ} = \frac{1}{2} \times 9x \times 12x = 54 \rightarrow 54x^2 = 54 \rightarrow x = 1$. बाजू $9$ सेमी व $12$ सेमी आहेत. $\text{कर्ण} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$ सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाची परिमिती 12 सेमी आहे, तर त्याच्या बाजूंची लांबी अनुक्रमे काय असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी
स्पष्टीकरण : $3, 4, 5$ हे मूलभूत पायथागोरसचे त्रिकूट आहे आणि त्यांची एकूण बेरीज $3 + 4 + 5 = 12$ सेमी (परिमिती) होते.
काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णावर काढलेल्या शिरोलंबाची लांबी काढायची आहे, जर काटकोन करणाऱ्या बाजू 6 सेमी व 8 सेमी असतील, तर त्या शिरोलंबाची लांबी किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 4.8 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{कर्ण} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ सेमी. $\text{क्षेत्रफळ} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ चौ.सेमी. कर्णाला पाया मानल्यास: $\frac{1}{2} \times 10 \times \text{शिरोलंब} = 24 \rightarrow \text{शिरोलंब} = 4.8$ सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 60 चौ.सेमी. आहे. जर काटकोन करणाऱ्या बाजूंमधील फरक 7 सेमी असेल, तर त्रिकोणाची परिमिती किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 40 सेमी
स्पष्टीकरण : बाजू $x$ आणि $x+7$ मानू. $\frac{1}{2} \times x(x+7) = 60 \rightarrow x^2 + 7x - 120 = 0 \rightarrow x = 8$. बाजू $8$ आणि $15$ सेमी आहेत, तर $\text{कर्ण} = 17$ सेमी. $\text{परिमिती} = 8 + 15 + 17 = 40$ सेमी.
एका आयताकृती शेताचा कर्ण 50 मीटर असून त्याची एक बाजू 30 मीटर आहे (जी काटकोन त्रिकोण तयार करते), तर त्या शेताचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 1200 चौ.मी.
स्पष्टीकरण : $\text{दुसरी बाजू} = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = 40$ मीटर. $\text{क्षेत्रफळ} = \text{लांबी} \times \text{रुंदी} = 40 \times 30 = 1200$ चौ.मी.
एका काटकोन त्रिकोणाचा पाया दुप्पट केला तर त्याच्या क्षेत्रफळात काय बदल होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | क्षेत्रफळ दुप्पट होईल
स्पष्टीकरण : $\text{क्षेत्रफळ} = \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची}$. पाया दुप्पट केल्यास नवीन क्षेत्रफळ मूळ क्षेत्रफळाच्या $2$ पट (दुप्पट) होईल.
जर काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण 13 सेमी आणि उंची 12 सेमी असेल, तर त्याचा पाया किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 5 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{पाया} = \sqrt{\text{कर्ण}^2 - \text{उंची}^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 24 चौ.सेमी असून पाया 6 सेमी आहे, तर त्याचा कर्ण किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 10 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{उंची} = \frac{24 \times 2}{6} = 8$ सेमी. $\text{कर्ण} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू 15 सेमी आणि 20 सेमी असून त्या काटकोन तयार करतात, तर त्रिकोणाची परिमिती किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 60 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{कर्ण} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ सेमी. $\text{परिमिती} = 15 + 20 + 25 = 60$ सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाची उंची 9 सेमी आणि क्षेत्रफळ 36 चौ.सेमी आहे, तर त्याचा पाया किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 8 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{पाया} = \frac{\text{क्षेत्रफळ} \times 2}{\text{उंची}} = \frac{36 \times 2}{9} = 4 \times 2 = 8$ सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाचा पाया 6 cm व उंची 8 cm असल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 24 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{क्षेत्रफळ} = \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ चौ.सेमी.
महत्त्वाची सूचना 🔊 या सराव प्रश्नसंचामधील सर्व प्रश्न विविध संदर्भग्रंथ, मागील परीक्षांच्या प्रश्नपत्रिका आणि उपलब्ध शैक्षणिक स्रोतांच्या आधारे तयार करण्यात आले आहेत. प्रश्नांची उदाहरणे, आकडेवारी, सूत्रे व सोडवण्याच्या पद्धती यांची शक्य तितकी अचूकता राखण्याचा प्रयत्न करण्यात आला आहे. तरीही प्रश्न तयार करताना किंवा माहिती संकलन प्रक्रियेत चूक, टायपो, गणिती मांडणीतील त्रुटी किंवा उत्तरामध्ये फरक आढळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. जर या गणित प्रश्नसंचामध्ये कोणतीही चूक, अपूर्ण माहिती, चुकीचे उत्तर किंवा उत्तर सोडवण्याच्या पद्धतीमध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया खाली कमेंट बॉक्समध्ये नक्की कळवा, जेणेकरून आवश्यक ती दुरुस्ती करता येईल.