चौरस म्हणजे काय ?
चौरसाचे प्रमुख गुणधर्म :
- चारही बाजू समान असतात ($a = b = c = d$).
- सर्व चार कोन काटकोन ($90^\circ$) असतात.
- दोन्ही कर्ण लांबीने समान असतात ($d_1 = d_2 = a\sqrt{2}$).
- कर्ण परस्परांना काटकोनात ($90^\circ$) दुभागतात.
- चौरसाचे क्षेत्रफळ हे त्याच्या बाजूच्या वर्गाइतके किंवा कर्णाच्या वर्गाच्या निम्मे असते.
या पोस्टमध्ये चौरसाची परिमिती, क्षेत्रफळ, कर्ण, आंतरवर्तुळ व परिवर्तुळ, रस्त्याचे क्षेत्रफळ आणि शेकडा बदल यांवर आधारित 20+ पेक्षा जास्त महत्त्वाची प्रश्नोत्तरे सविस्तर स्पष्टीकरणासह समाविष्ट केली आहेत
महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)
(येथे $a$ = चौरसाची बाजू, $d$ = कर्ण)
- चौरसाची परिमिती (Perimeter): $P = 4 \times a = 4a$
- चौरसाचे क्षेत्रफळ (Area): $A = a^2 = \text{बाजू}^2$
- कर्णावरून क्षेत्रफळ (Area from Diagonal): $A = \frac{1}{2} \times d^2 = \frac{d^2}{2}$
- चौरसाचा कर्ण (Diagonal): $d = a\sqrt{2}$
- कर्णावरून बाजू काढणे: $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$
- परिमितीवरून बाजू काढणे: $a = \frac{P}{4}$
- क्षेत्रफळावरून बाजू काढणे: $a = \sqrt{A}$
- चौरसाच्या आंतरवर्तुळाची त्रिज्या (Incircle Radius): $r = \frac{a}{2}$
- चौरसाच्या परिवर्तुळाची त्रिज्या (Circumcircle Radius): $R = \frac{d}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
- बाह्य रस्त्याचे क्षेत्रफळ (रुंदी $w$ असल्यास): $4w(a + w)$
- आंतरिक रस्त्याचे क्षेत्रफळ (रुंदी $w$ असल्यास): $4w(a - w)$
- मध्यभागी परस्परांना छेदणाऱ्या रस्त्यांचे क्षेत्रफळ: $w(2a - w)$
एका चौरसाचे क्षेत्रफळ 225 चौ.सेमी आहे, तर त्या चौरसाची बाजू किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 15 सेमी
स्पष्टीकरण : चौरसाचे क्षेत्रफळ = $\text{बाजू}^2 \rightarrow 225 = \text{बाजू}^2 \rightarrow \text{बाजू} = \sqrt{225} = 15$ सेमी.
एका चौरसाची बाजू 12 cm आहे, तर त्या चौरसाचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 144 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण : चौरसाचे क्षेत्रफळ = $\text{बाजू}^2 = 12^2 = 144$ चौ.सेमी.
एका चौरसाचा कर्ण 10 cm आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 50 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण : कर्णावरून चौरसाचे क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times \text{कर्ण}^2 = \frac{1}{2} \times 10^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50$ चौ.सेमी.
एका चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती पट होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 4 पट
स्पष्टीकरण : चौरसाचे क्षेत्रफळ हे बाजूच्या वर्गाच्या समप्रमाणात बदलते. बाजू दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ $2^2 = 4$ पट होईल.
एका चौरसाची बाजू 15 cm आहे, तर त्या चौरसाचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 225 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : चौरसाचे क्षेत्रफळ = $\text{बाजू}^2 = 15 \times 15 = 225$ चौ.सेमी.
एका चौरसाकृती मैदानाची परिमिती 64 मीटर आहे, तर त्या मैदानाचे क्षेत्रफळ किती चौ.मी. असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 256 चौ.मी.
स्पष्टीकरण : $\text{बाजू} = \frac{\text{परिमिती}}{4} = \frac{64}{4} = 16$ मीटर. क्षेत्रफळ = $\text{बाजू}^2 = 16^2 = 256$ चौ.मी.
एका चौरसाचा कर्ण 10 सेमी आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 50 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times \text{कर्ण}^2 = \frac{1}{2} \times 10^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50$ चौ.सेमी.
एका चौरसाचे क्षेत्रफळ 144 चौ.सेमी आहे, तर त्याचा कर्ण किती सेमी असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 12$\sqrt{2}$ सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{बाजू} = \sqrt{144} = 12$ सेमी. चौरसाचा कर्ण = $\text{बाजू} \times \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ सेमी.
जर एका चौरसाची बाजू 20% ने वाढवली, तर त्याच्या क्षेत्रफळात किती टक्के वाढ होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 44%
स्पष्टीकरण : क्षेत्रफळात होणारी टक्केवारी वाढ = $20 + 20 + \frac{20 \times 20}{100} = 40 + 4 = 44\%$ वाढ.
दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर 9:16 आहे, तर त्यांच्या परिमितीचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 3:4
स्पष्टीकरण : परिमितीचे किंवा बाजूंचे गुणोत्तर हे क्षेत्रफळांच्या गुणोत्तराच्या वर्गमूळाइतके असते. गुणोत्तर = $\sqrt{\frac{9}{16}} = 3:4$.
एका चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास त्याची परिमिती मूळ परिमितीच्या किती पट होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | दुप्पट
स्पष्टीकरण : परिमिती ही बाजूच्या थेट समप्रमाणात असते ($P = 4a$). त्यामुळे बाजू दुप्पट केल्यास परिमिती सुद्धा दुप्पटच होईल.
एका 30 मीटर $\times$ 20 मीटर आयताकृती जागेत कमाल आकाराच्या चौरसाकृती किती फरश्या बसवता येतील
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 6
स्पष्टीकरण : कमाल आकाराच्या चौरसाची बाजू = $30$ व $20$ चा म.सा.वि. (HCF) = $10$ मीटर. तुकड्यांची संख्या = $\frac{\text{आयताचे क्षेत्रफळ}}{\text{चौरसाचे क्षेत्रफळ}} = \frac{30 \times 20}{10 \times 10} = \frac{600}{100} = 6$.
एका चौरसाकृती शेताभोवती 4 पदरी कुंपण घालण्यासाठी प्रति मीटर 5 रुपये दराने 800 रुपये खर्च येतो, तर त्या शेताची बाजू किती मीटर असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 10 मीटर
स्पष्टीकरण : एकूण कुंपणाची लांबी = $\frac{800}{5} = 160$ मीटर. 4 पदरी कुंपण असल्याने परिमिती = $\frac{160}{4} = 40$ मीटर. चौरसाची बाजू = $\frac{40}{4} = 10$ मीटर.
चौरसाचा कर्ण दुप्पट केल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती पट होईल
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | चौपट
स्पष्टीकरण : क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times \text{कर्ण}^2$. कर्ण दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ $2^2 = 4$ पट (चौपट) होईल.
एका चौरसाचे क्षेत्रफळ 64 चौ.सेमी आहे, तर त्याची परिमिती किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 32 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{बाजू} = \sqrt{64} = 8$ सेमी. परिमिती = $4 \times 8 = 32$ सेमी.
जर एका चौरसाची बाजू 10% ने कमी केली, तर त्याच्या क्षेत्रफळात किती टक्के घट होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 19%
स्पष्टीकरण : टक्केवारी घट = $-10 - 10 + \frac{(-10) \times (-10)}{100} = -20 + 1 = -19\%$ (म्हणजेच $19\%$ घट होईल).
एका चौरसाचा कर्ण 8$\sqrt{2}$ सेमी आहे, तर त्याचे एकूण पृष्ठफळ (किंवा क्षेत्रफळ) किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 64 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : $\text{बाजू} = \frac{\text{कर्ण}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8$ सेमी. क्षेत्रफळ = $\text{बाजू}^2 = 8^2 = 64$ चौ.सेमी.
50 मीटर बाजू असलेल्या एका चौरसाकृती बागेच्या आतून चारी बाजूंनी 2 मीटर रुंदीचा रस्ता तयार केला, तर रस्त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 384 चौ.मी.
स्पष्टीकरण : बाहेरील क्षेत्रफळ = $50 \times 50 = 2500$ चौ.मी. आतील बाजू = $50 - (2 + 2) = 46$ मीटर. आतील क्षेत्रफळ = $46 \times 46 = 2116$ चौ.मी. रस्त्याचे क्षेत्रफळ = $2500 - 2116 = 384$ चौ.मी.
जर चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि त्याची परिमिती यांचे संख्यात्मक मूल्य समान असेल, तर चौरसाची बाजू किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 4 युनिट्स
स्पष्टीकरण : $\text{बाजू}^2 = 4 \times \text{बाजू} \rightarrow \text{बाजू} = 4$ युनिट्स.
महत्त्वाची सूचना 🔊 या सराव प्रश्नसंचामधील सर्व प्रश्न विविध संदर्भग्रंथ, मागील परीक्षांच्या प्रश्नपत्रिका आणि उपलब्ध शैक्षणिक स्रोतांच्या आधारे तयार करण्यात आले आहेत. प्रश्नांची उदाहरणे, आकडेवारी, सूत्रे व सोडवण्याच्या पद्धती यांची शक्य तितकी अचूकता राखण्याचा प्रयत्न करण्यात आला आहे. तरीही प्रश्न तयार करताना किंवा माहिती संकलन प्रक्रियेत चूक, टायपो, गणिती मांडणीतील त्रुटी किंवा उत्तरामध्ये फरक आढळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. जर या गणित प्रश्नसंचामध्ये कोणतीही चूक, अपूर्ण माहिती, चुकीचे उत्तर किंवा उत्तर सोडवण्याच्या पद्धतीमध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया खाली कमेंट बॉक्समध्ये नक्की कळवा, जेणेकरून आवश्यक ती दुरुस्ती करता येईल.