त्रिमितीय भूमितीमध्ये (3D Geometry) 'इष्टिकाचिती' (Cuboid) हा अत्यंत पायाभूत आणि सर्वाधिक विचारला जाणारा आकार आहे. स्पर्धा परीक्षा (MPSC, तलाठी, पोलीस भरती, SSC CGL/CHSL, RRB, बँकिंग) तसेच शालेय अभ्यासक्रमात इष्टिकाचितीच्या पृष्ठफळ, घनफळ आणि कर्णावर आधारित प्रश्न हमखास विचारले जातात.
इष्टिकाचिती म्हणजे काय ?
इष्टिकाचितीचा अभ्यास करताना प्रामुख्याने तीन मोजमापांचा विचार केला जातो :
- लांबी ($l$ - Length)
- रुंदी ($b$ - Breadth / Width)
- उंची ($h$ - Height)
या संकल्पनेमध्ये प्रामुख्याने उभ्या पृष्ठांचे क्षेत्रफळ (खोलीच्या चार भिंतींचे क्षेत्रफळ), एकूण पृष्ठफळ, घनफळ (धारकता) आणि कर्णाची लांबी या घटकांचा अभ्यास केला जातो. या पोस्टमध्ये या सर्व संकल्पनांवर आधारित 20+ पेक्षा जास्त महत्त्वाची प्रश्नोत्तरे सविस्तर स्पष्टीकरणासह समाविष्ट केली आहेत.
महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)
(येथे $l$ = लांबी, $b$ = रुंदी, $h$ = उंची)
- इष्टिकाचितीचे घनफळ (Volume): $V = l \times b \times h$
- इष्टिकाचितीचे एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area - TSA): $TSA = 2(lb + bh + lh)$
- इष्टिकाचितीचे वक्रपृष्ठफळ / चार भिंतींचे क्षेत्रफळ (Lateral Surface Area - LSA): $LSA = 2h(l + b) = \text{तळाची परिमिती} \times \text{उंची}$
- इष्टिकाचितीच्या कर्णाची लांबी (Diagonal): $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$
- इष्टिकाचितीच्या सर्व 12 कडांची एकूण लांबी: $4(l + b + h)$
- तळाचे किंवा छताचे क्षेत्रफळ: $l \times b$
- खोलीला रंग देण्याचे क्षेत्रफळ (4 भिंती + छत): $2h(l + b) + lb$
- पोकळ इष्टिकाचितीतील धातूचे घनफळ: बाह्य घनफळ - आंतरिक घनफळ = $LBH - lbh$
एका इष्टिकाचिती आकाराच्या पेटीची लांबी 10 cm, रुंदी 8 cm आणि उंची 5 cm आहे, तर तिचे एकूण पृष्ठफळ किती
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 340 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : एकूण पृष्ठफळ = $2(lb + bh + lh) = 2(10 \times 8 + 8 \times 5 + 10 \times 5) = 2(80 + 40 + 50) = 340$ चौ.सेमी.
एका इष्टिकाचिती आकाराच्या पाण्याच्या टाकीची लांबी 5 मीटर, रुंदी 4 मीटर आणि उंची 3 मीटर आहे, तर त्या टाकीची धारकता (घनफळ) किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 60 घनमीटर
स्पष्टीकरण : घनफळ = $l \times b \times h = 5 \times 4 \times 3 = 60$ घनमीटर.
एका खोलीची लांबी 12 मीटर, रुंदी 9 मीटर आणि उंची 8 मीटर आहे, तर त्या खोलीमध्ये ठेवता येणाऱ्या सर्वात लांब बांबूची लांबी (कर्ण) किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 17 मीटर
स्पष्टीकरण : कर्ण = $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 9^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 81 + 64} = \sqrt{289} = 17$ मीटर.
एका इष्टिकाचितीचे घनफळ 1200 घनसेमी आहे. जर तिची लांबी 15 सेमी आणि रुंदी 10 सेमी असेल, तर तिची उंची किती असेल
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 8 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{उंची } (h) = \frac{\text{घनफळ}}{l \times b} = \frac{1200}{15 \times 10} = \frac{1200}{150} = 8$ सेमी.
एका हॉलची लांबी 10 मीटर, रुंदी 6 मीटर आणि उंची 4 मीटर आहे. त्या हॉलच्या चारही भिंतींचे क्षेत्रफळ किती चौ.मी. होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 160 चौ.मी.
स्पष्टीकरण : चारही भिंतींचे क्षेत्रफळ = $2(l + b) \times h = 2(10 + 6) \times 4 = 2 \times 16 \times 4 = 160$ चौ.मी.
8 मीटर लांब, 6 मीटर उंच आणि 22.5 सेमी जाड भिंत बांधण्यासाठी 25 सेमी $\times$ 11.25 सेमी $\times$ 6 सेमी आकाराच्या किती विटा लागतील ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 6400 विटा
स्पष्टीकरण : विटांची संख्या = $\frac{800 \times 600 \times 22.5}{25 \times 11.25 \times 6} = 32 \times 100 \times 2 = 6400$ विटा.
दोन इष्टिकाचितींच्या लांबी, रुंदी आणि उंचीचे गुणोत्तर अनुक्रमे 1:2, 3:2 आणि 2:1 आहे, तर त्यांच्या घनफळांचे गुणोत्तर किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 3:2
स्पष्टीकरण : घनफळांचे गुणोत्तर = $\frac{1 \times 3 \times 2}{2 \times 2 \times 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ म्हणजेच 3:2
एका इष्टिकाचिती आकाराच्या धातूच्या ठोकळ्याची परिमाणे 24 सेमी $\times$ 18 सेमी $\times$ 12 सेमी आहेत. हा ठोकळा वितळवून 6 सेमी बाजू असलेले किती लहान घन तयार करता येतील ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 24
स्पष्टीकरण : घनांची संख्या = $\frac{24 \times 18 \times 12}{6 \times 6 \times 6} = 4 \times 3 \times 2 = 24$ घन.
एका इष्टिकाचितीच्या लगतच्या तीन पृष्ठांचे क्षेत्रफळ अनुक्रमे 12 चौ.सेमी, 20 चौ.सेमी आणि 15 चौ.सेमी आहे, तर त्या इष्टिकाचितीचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 60 घनसेमी
स्पष्टीकरण : घनफळ ($V$) = $\sqrt{x \times y \times z} = \sqrt{12 \times 20 \times 15} = \sqrt{3600} = 60$ घनसेमी.
जर एका इष्टिकाचितीची लांबी आणि रुंदी प्रत्येकी 20% ने वाढवली आणि उंची 50% ने कमी केली, तर तिच्या घनफळात काय बदल होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 28% ने घट होईल
स्पष्टीकरण : सुरुवातीचे घनफळ 100 मानू. बदल = $100 \times 1.2 \times 1.2 \times 0.5 = 72$. घट = $100 - 72 = 28\%$ घट होईल.
एका इष्टिकाचितीच्या लांबी, रुंदी आणि उंचीची बेरीज 19 सेमी आहे आणि तिच्या कर्णाची लांबी 11 सेमी आहे, तर तिचे एकूण पृष्ठफळ किती चौ.सेमी असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 240 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : $(l + b + h)^2 = (l^2 + b^2 + h^2) + 2(lb + bh + lh) \rightarrow 19^2 = 11^2 + \text{पृष्ठफळ} \rightarrow 361 = 121 + \text{पृष्ठफळ} \rightarrow 240$ चौ.सेमी.
6 मीटर लांब, 4 मीटर रुंद आणि 1.5 मीटर खोल खड्डा खणून काढलेली माती एका 12 मीटर लांब आणि 5 मीटर रुंद मैदानावर समान पसरवली, तर मैदानाची उंची किती सेमीने वाढेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 60 सेमी
स्पष्टीकरण : मातीचे घनफळ = $6 \times 4 \times 1.5 = 36$ घ.मी. मैदानाची उंची वाढ = $\frac{36}{12 \times 5} = \frac{36}{60} = 0.6$ मीटर = 60 सेमी.
एका इष्टिकाचितीचे एकूण पृष्ठफळ 1300 चौ.सेमी आहे. जर तिची रुंदी 10 सेमी आणि उंची 20 सेमी असेल, तर तिची लांबी किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 15 सेमी
स्पष्टीकरण : $2(l \times 10 + 10 \times 20 + l \times 20) = 1300 \rightarrow 30l + 200 = 650 \rightarrow 30l = 450 \rightarrow l = 15$ सेमी.
40 सेमी $\times$ 30 सेमी आकाराच्या एका धातूच्या पत्र्याच्या चारही कोपऱ्यांतून 5 सेमी बाजूचे चौरस कापून उरलेल्या भागापासून उघडा डबा तयार केला, तर त्या डब्याचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 2000 घनसेमी
स्पष्टीकरण : नवीन लांबी = $40 - 10 = 30$ सेमी, नवीन रुंदी = $30 - 10 = 20$ सेमी, उंची = 5 सेमी. घनफळ = $30 \times 20 \times 5 = 2000$ घनसेमी.
एका इष्टिकाचिती आकाराच्या गोदामाची लांबी, रुंदी व उंची यांचे गुणोत्तर 4:3:2 आहे. जर त्याचे घनफळ 1536 घनमीटर असेल, तर त्याची रुंदी किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 12 मीटर
स्पष्टीकरण : $4x \times 3x \times 2x = 1536 \rightarrow 24x^3 = 1536 \rightarrow x^3 = 64 \rightarrow x = 4$. रुंदी = $3x = 3 \times 4 = 12$ मीटर.
महत्त्वाची सूचना 🔊 या सराव प्रश्नसंचामधील सर्व प्रश्न विविध संदर्भग्रंथ, मागील परीक्षांच्या प्रश्नपत्रिका आणि उपलब्ध शैक्षणिक स्रोतांच्या आधारे तयार करण्यात आले आहेत. प्रश्नांची उदाहरणे, आकडेवारी, सूत्रे व सोडवण्याच्या पद्धती यांची शक्य तितकी अचूकता राखण्याचा प्रयत्न करण्यात आला आहे. तरीही प्रश्न तयार करताना किंवा माहिती संकलन प्रक्रियेत चूक, टायपो, गणिती मांडणीतील त्रुटी किंवा उत्तरामध्ये फरक आढळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. जर या गणित प्रश्नसंचामध्ये कोणतीही चूक, अपूर्ण माहिती, चुकीचे उत्तर किंवा उत्तर सोडवण्याच्या पद्धतीमध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया खाली कमेंट बॉक्समध्ये नक्की कळवा, जेणेकरून आवश्यक ती दुरुस्ती करता येईल.