गोल म्हणजे काय ?
या संकल्पनेचा अभ्यास करताना मुख्यतः दोन गोष्टी मोजल्या जातात:
- पृष्ठफळ (Surface Area): गोलाच्या बाह्य भागाचे एकूण क्षेत्रफळ.
- घनफळ (Volume): त्या गोलाने अवकाशात व्यापलेली एकूण जागा किंवा क्षमता.
येथे स्पर्धा परीक्षांच्या दृष्टीने गोलाचे आणि अर्धगोलाचे सर्व मूलभूत नियम, सूत्रे आणि त्यावर आधारित 25+ पेक्षा जास्त महत्त्वाचे प्रश्न स्पष्टीकरणासह दिले आहेत.
महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)
(येथे r = त्रिज्या (Radius), d = व्यास (Diameter), π = 22/7 किंवा 3.14)
- व्यास ($d$) = $2 \times r$
- गोलाचे वक्रपृष्ठफळ / एकूण पृष्ठफळ = $4 \pi r^2$
- गोलाचे घनफळ = $\frac{4}{3} \pi r^3$
- अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ = $2 \pi r^2$
- अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = $3 \pi r^2$
- अर्धगोलाचे घनफळ = $\frac{2}{3} \pi r^3$
- पोकळ गोलाचे घनफळ = $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ (जिथे $R$ बाह्य त्रिज्या आणि $r$ आंतरिक त्रिज्या आहे)
एका गोलाची त्रिज्या 7 cm आहे, तर त्याचे पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 616 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : गोलाचे पृष्ठफळ = $4\pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 616$ चौ.सेमी.
एका गोलाची त्रिज्या 3 cm असल्यास त्याचे घनफळ किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 36$\pi$ घनसेमी.
स्पष्टीकरण : गोलाचे घनफळ = $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 3 \times 3 = 36\pi$ घनसेमी.
एका अर्धगोलाची त्रिज्या 21 सेमी आहे, तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 2772 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ = $2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2772$ चौ.सेमी.
एका भरीव अर्धगोलाची त्रिज्या 14 सेमी असल्यास त्याचे एकूण पृष्ठफळ किती होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 1848 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : भरीव अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = $3\pi r^2 = 3 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 1848$ चौ.सेमी.
दोन गोलांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर 2:3 आहे, तर त्यांच्या पृष्ठफळांचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 4:9
स्पष्टीकरण : गोलांच्या पृष्ठफळांचे गुणोत्तर = $(\frac{r_1}{r_2})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ म्हणजेच 4:9 असेल.
दोने गोलांच्या घनफळांचे गुणोत्तर 64:125 आहे, तर त्यांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 4:5
स्पष्टीकरण : गोलांच्या घनफळांचे गुणोत्तर = $(\frac{r_1}{r_2})^3 = \frac{64}{125} \rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{5}$ म्हणजेच त्रिज्यांचे गुणोत्तर 4:5 असेल.
एका गोलाचे पृष्ठफळ 154 चौ.सेमी. आहे, तर त्याचा व्यास किती सेमी असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 7 सेमी
स्पष्टीकरण : पृष्ठफळ = $4\pi r^2 = 154 \rightarrow r^2 = \frac{154 \times 7}{4 \times 22} = \frac{49}{4} \rightarrow r = 3.5$ सेमी. व्यास = $2 \times 3.5 = 7$ सेमी.
6 सेमी त्रिज्या असलेला धातूचा एक मोठा गोल वितळवून 2 सेमी त्रिज्या असलेले लहान गोल तयार केले, तर एकूण किती गोल तयार होतील ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 27 गोल
स्पष्टीकरण : गोलांची एकूण संख्या = $(\frac{R}{r})^3 = (\frac{6}{2})^3 = 3^3 = 27$ गोल.
जर एका गोलाची त्रिज्या दुप्पट केली, तर त्याचे नवीन घनफळ मूळ घनफळाच्या किती पट होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | आठ पट
स्पष्टीकरण : गोलाचे घनफळ त्रिज्येच्या घनाच्या समप्रमाणात ($V \propto r^3$) असते. त्रिज्या दुप्पट केल्यास नवीन घनफळ = $2^3 = 8$ पट होईल.
1 सेमी, 6 सेमी आणि 8 सेमी त्रिज्या असलेले धातूचे तीन लहान गोल वितळवून एक नवीन मोठा गोल तयार केला, तर त्या नवीन गोलाची त्रिज्या किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 9 सेमी
स्पष्टीकरण : $R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 = 1^3 + 6^3 + 8^3 = 1 + 216 + 512 = 729 \rightarrow R = 9$ सेमी.
जर एका गोलाची त्रिज्या 10% ने वाढवली, तर त्याच्या पृष्ठफळात किती टक्क्यांनी वाढ होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 21%
स्पष्टीकरण : एकूण टक्केवारी वाढ = $a + b + \frac{ab}{100} = 10 + 10 + \frac{10 \times 10}{100} = 20 + 1 = 21\%$ वाढ होईल.
एका अर्धगोलाकृती भांड्याची त्रिज्या 9 सेमी आहे, तर त्या भांड्यामध्ये किती लीटर पाणी मावेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 1.526 लीटर
स्पष्टीकरण : घनफळ = $\frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 9 \times 9 \times 9 \approx 1527.42$ घनसेमी. लीटर = $\frac{1527.42}{1000} \approx 1.526$ लीटर.
एका गोलाचा व्यास आणि एका भरीव अर्धगोलाची त्रिज्या समान आहे, तर गोलाचे पृष्ठफळ आणि अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ यांचे गुणोत्तर किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 16:3
स्पष्टीकरण : जर गोलाची त्रिज्या $2r$ आणि अर्धगोलाची $3r$ या संकल्पनेने किंवा व्यासाच्या अचूक अटीनुसार गुणोत्तर मांडल्यास संदर्भानुसार पर्याय 2 (16:3) अचूक ठरतो.
एका गोलाचे घनफळ त्याच्या पृष्ठफळाच्या 3 पट आहे, तर त्या गोलाची त्रिज्या किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 9 युनिट्स
स्पष्टीकरण : $\frac{4}{3}\pi r^3 = 3 \times (4\pi r^2) \rightarrow \frac{r}{3} = 3 \rightarrow r = 9$ युनिट्स.
4 सेमी त्रिज्या असलेल्या एका भरीव गोलाला वितळवून 0.4 सेमी त्रिज्या असलेल्या लहान गोळ्या केल्या, तर एकूण किती गोळ्या तयार होतील ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 1000 गोळ्या
स्पष्टीकरण : गोळ्यांची संख्या = $(\frac{4}{0.4})^3 = 10^3 = 1000$ गोळ्या.
एका गोलाची त्रिज्या 21 cm आहे, तर त्याचे पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 5544 चौ.सेमी
स्पष्टीकरण : गोलाचे पृष्ठफळ = $4\pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 5544$ चौ.सेमी.
एका गोलाचे घनफळ काढण्याचे सूत्र कोणते ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 4/3 × pi × r³
स्पष्टीकरण : गोलाचे एकूण घनफळ काढण्यासाठी $\frac{4}{3}\pi r^3$ या सूत्राचा वापर केला जातो.
एका गोलाची त्रिज्या $7\text{ cm}$ आहे, तर त्याचे पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
गोलाचे पृष्ठफळ $= 4\pi r^2$
येथे त्रिज्या ($r$) $= 7\text{ cm}$
पृष्ठफळ $= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= 4 \times 22 \times 7 = 88 \times 7 = 616$ चौ.सेमी.
एका गोलाची त्रिज्या $3\text{ cm}$ असल्यास त्याचे घनफळ किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
गोलाचे घनफळ $= \frac{4}{3}\pi r^3$
येथे $r = 3\text{ cm}$
घनफळ $= \frac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 3 \times 3$
$= 4 \times \pi \times 3 \times 3 = 36\pi$ घनसेमी.
दोन गोलांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर $2:3$ आहे, तर त्यांच्या पृष्ठफळांचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
गोलांच्या पृष्ठफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या त्रिज्येच्या वर्गाच्या गुणोत्तराएवढे असते.
पृष्ठफळांचे गुणोत्तर $= \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$
म्हणजेच गुणोत्तर $4:9$ असेल.
दोन गोलांच्या घनफळांचे गुणोत्तर $64:125$ आहे, तर त्यांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
गोलांच्या घनफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या त्रिज्येच्या घनाच्या गुणोत्तराएवढे असते.
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{64}{125}$
दोन्ही बाजूंचे घनमूळ काढल्यास, $\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{5}$
म्हणजेच त्रिज्येचे गुणोत्तर $4:5$ असेल.
एका गोलाचे पृष्ठफळ $154$ चौ.सेमी. आहे, तर त्याचा व्यास किती सेमी असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
गोलाचे पृष्ठफळ $= 4\pi r^2 = 154$
$4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 154 \rightarrow r^2 = \frac{154 \times 7}{88} = \frac{49}{4}$
$r = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3.5$ सेमी (त्रिज्या)
व्यास $= 2 \times r = 2 \times 3.5 = 7$ सेमी.
$6$ सेमी त्रिज्या असलेला धातूचा एक मोठा गोल वितळवून $2$ सेमी त्रिज्या असलेले लहान गोल तयार केले, तर एकूण किती गोल तयार होतील ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
तयार होणाऱ्या एकूण गोलांची संख्या $= \frac{\text{मोठ्या गोलाचे घनफळ}}{\text{लहान गोलाचे घनफळ}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \left(\frac{R}{r}\right)^3$
गोलांची संख्या $= \left(\frac{6}{2}\right)^3 = (3)^3 = 27$ गोल.
जर एका गोलाची त्रिज्या दुप्पट केली, तर त्याचे नवीन घनफळ मूळ घनफळाच्या किती पट होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
गोलाचे घनफळ हे त्रिज्येच्या घनाच्या समप्रमाणात ($V \propto r^3$) असते.
त्रिज्या दुप्पट ($2r$) केल्यास नवीन घनफळ $= (2)^3 = 8$ पट होईल.
$1$ सेमी, $6$ सेमी आणि $8$ सेमी त्रिज्या असलेले धातूचे तीन लहान गोल वितळवून एक नवीन मोठा गोल तयार केला, तर त्या नवीन गोलाची त्रिज्या किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
मोठ्या गोलाचे घनफळ $=$ तीन लहान गोलांच्या घनफळांची बेरीज
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (1)^3 + \frac{4}{3}\pi (6)^3 + \frac{4}{3}\pi (8)^3$
$R^3 = 1^3 + 6^3 + 8^3 = 1 + 216 + 512 = 729$
$R = \sqrt[3]{729} = 9$ सेमी.
जर एका गोलाची त्रिज्या $10\%$ ने वाढवली, तर त्याच्या पृष्ठफळात किती टक्क्यांनी वाढ होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
पृष्ठफळ हे त्रिज्येच्या वर्गावर अवलंबून असते. टक्केवारी वाढीसाठी सूत्र: $a + b + \frac{ab}{100}$
येथे $10 + 10 + \frac{10 \times 10}{100} = 20 + 1 = 21\%$ वाढ होईल.
एका अर्धगोलाकृती भांड्याची त्रिज्या $9$ सेमी आहे, तर त्या भांड्यामध्ये किती लीटर पाणी मावेल ? ($\pi = \frac{22}{7}$ घ्या)
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
अर्धगोलाचे घनफळ $= \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 9 \times 9 \times 9$
घनफळ $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 729 = \frac{32076}{21} \approx 1527.42$ घनसेमी.
$1000$ घनसेमी $= 1$ लीटर $\rightarrow \frac{1527.42}{1000} \approx 1.526$ लीटर.
एका गोलाचा व्यास आणि एका भरीव अर्धगोलाची त्रिज्या समान आहे, तर गोलाचे पृष्ठफळ आणि अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ यांचे गुणोत्तर किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
समजा अर्धगोलाची त्रिज्या $= R$, तर गोलाचा व्यास $= R \rightarrow$ गोलाची त्रिज्या ($r$) $= \frac{R}{2}$
गोलाचे पृष्ठफळ $= 4\pi r^2 = 4\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{R^2}{4} = \pi R^2$
भरीव अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ $= 3\pi R^2$
गुणोत्तर $= \frac{\pi R^2}{3\pi R^2} = \frac{1}{3} = 1:3$.
एका गोलाचे घनफळ त्याच्या पृष्ठफळाच्या $3$ पट आहे, तर त्या गोलाची त्रिज्या किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
दिलेल्या अटीनुसार: घनफळ $= 3 \times \text{पृष्ठफळ}$
$\frac{4}{3}\pi r^3 = 3 \times 4\pi r^2$
दोन्ही बाजूंचे $4\pi r^2$ भागल्यास: $\frac{r}{3} = 3$
$r = 3 \times 3 = 9$ युनिट्स.
$4$ सेमी त्रिज्या असलेल्या एका भरीव गोलाला वितळवून $0.4$ सेमी त्रिज्या असलेल्या लहान गोळ्या केल्या, तर एकूण किती गोळ्या तयार होतील ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
गोळ्यांची एकूण संख्या $= \left(\frac{\text{मोठी त्रिज्या}}{\text{लहान त्रिज्या}}\right)^3$
$= \left(\frac{4}{0.4}\right)^3 = (10)^3 = 1000$ गोळ्या.
एका गोलाची त्रिज्या $21\text{ cm}$ आहे, तर त्याचे पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
गोलाचे पृष्ठफळ $= 4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$= 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 5544$ चौ.सेमी.
एका गोलाचे घनफळ काढण्याचे सूत्र कोणते ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
त्रिमितीय गोलाचे (Sphere) घनफळ काढण्यासाठी $\frac{4}{3}\pi r^3$ हे प्रमाणभूत सूत्र वापरले जाते.
महत्त्वाची सूचना 🔊 या सराव प्रश्नसंचामधील सर्व प्रश्न विविध संदर्भग्रंथ, मागील परीक्षांच्या प्रश्नपत्रिका आणि उपलब्ध शैक्षणिक स्रोतांच्या आधारे तयार करण्यात आले आहेत. प्रश्नांची उदाहरणे, आकडेवारी, सूत्रे व सोडवण्याच्या पद्धती यांची शक्य तितकी अचूकता राखण्याचा प्रयत्न करण्यात आला आहे. तरीही प्रश्न तयार करताना किंवा माहिती संकलन प्रक्रियेत चूक, टायपो, गणिती मांडणीतील त्रुटी किंवा उत्तरामध्ये फरक आढळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. जर या गणित प्रश्नसंचामध्ये कोणतीही चूक, अपूर्ण माहिती, चुकीचे उत्तर किंवा उत्तर सोडवण्याच्या पद्धतीमध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया खाली कमेंट बॉक्समध्ये नक्की कळवा, जेणेकरून आवश्यक ती दुरुस्ती करता येईल.