घन म्हणजे काय ?
घनाचा अभ्यास करताना खालील मुख्य संकल्पनांचा समावेश होतो :
- बाजू / कडा ($a$ - Edge): घनाची लांबी, रुंदी व उंची समान असते.
- उभ्या पृष्ठांचे क्षेत्रफळ / चार भिंतींचे क्षेत्रफळ (Lateral Surface Area - LSA): घनाच्या चार उभ्या चौरसाकृती बाजूंचे क्षेत्रफळ ($4a^2$).
- एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area - TSA): घनाच्या सर्व सहा चौरसाकृती बाजूंचे एकूण क्षेत्रफळ ($6a^2$).
- घनफळ (Volume): घनाने अवकाशात व्यापलेली एकूण जागा किंवा क्षमता ($a^3$).
- घनाचा कर्ण (Diagonal): घनाच्या विरुद्ध कोपऱ्यांमधील सर्वात लांब अंतर ($a\sqrt{3}$).
या पोस्टमध्ये घनाचे पृष्ठफळ, घनफळ, कर्ण, शेकडा बदल, आकार रूपांतरण आणि रंगवलेल्या घनाचे तुकडे यांवर आधारित 20+ पेक्षा जास्त महत्त्वाची प्रश्नोत्तरे सविस्तर स्पष्टीकरणासह समाविष्ट केली आहेत.
महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)
(येथे $a$ = घनाच्या एका बाजूची / कडेची लांबी)
- एका पृष्ठाचे क्षेत्रफळ (Base Area): $a^2$
- घनाचे घनफळ (Volume): $V = a^3 = \text{बाजू}^3$
- घनाचे एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area - TSA): $TSA = 6a^2$
- घनाचे वक्रपृष्ठफळ / चार पृष्ठांचे क्षेत्रफळ (Lateral Surface Area - LSA): $LSA = 4a^2$
- घनाच्या कर्णाची लांबी (Diagonal): $d = a\sqrt{3}$
- घनाच्या पृष्ठाचा कर्ण (Face Diagonal): $d_{\text{face}} = a\sqrt{2}$
- घनाच्या सर्व 12 कडांची एकूण लांबी: $12a$
- घनफळावरून बाजू काढणे: $a = \sqrt[3]{V}$
- पृष्ठफळावरून बाजू काढणे: $a = \sqrt{\frac{\text{TSA}}{6}}$
एका घनाची बाजू 6 cm आहे, तर त्या घनाचा कडा (लांबी) असलेल्या घनाचे एकूण पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 216 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : घनाचे एकूण पृष्ठफळ = $6 \times (\text{बाजू})^2 = 6 \times 6^2 = 6 \times 36 = 216$ चौ.सेमी.
एका घनाकृती खोक्याची बाजू 8 सेमी असल्यास त्याचे घनफळ किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 512 घनसेमी.
स्पष्टीकरण : घनाचे घनफळ = $(\text{बाजू})^3 = 8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 512$ घनसेमी.
एका घनाच्या उभ्या पृष्ठांचे क्षेत्रफळ (वक्रपृष्ठफळ) 400 चौ.सेमी. आहे, तर त्या घन्याची बाजू किती सेमी असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 10 सेमी
स्पष्टीकरण : उभ्या पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = $4 \times (\text{बाजू})^2 = 400 \rightarrow (\text{बाजू})^2 = 100 \rightarrow \text{बाजू} = 10$ सेमी.
एका घनाचे एकूण पृष्ठफळ 150 चौ.सेमी. आहे, तर त्याचे घनफळ किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 125 घनसेमी.
स्पष्टीकरण : $6 \times (\text{बाजू})^2 = 150 \rightarrow (\text{बाजू})^2 = 25 \rightarrow \text{बाजू} = 5$ सेमी. घनफळ = $5^3 = 125$ घनसेमी.
एका घनाची बाजू 12 सेमी आहे, तर त्या घनामध्ये ठेवता येणाऱ्या सर्वात मोठ्या काठीची लांबी (कर्ण) किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 12$\sqrt{3}$ सेमी
स्पष्टीकरण : घनाचा कर्ण = $\text{बाजू} \times \sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ सेमी.
दोन घनाच्या बाजूंचे गुणोत्तर 2:5 आहे, तर त्यांच्या एकूण पृष्ठफळांचे गुणोत्तर किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 4:25
स्पष्टीकरण : पृष्ठफळांचे गुणोत्तर = $(\frac{\text{बाजू}_1}{\text{बाजू}_2})^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$ म्हणजेच 4:25 असेल.
दोन घनांच्या घनफळांचे गुणोत्तर 27:64 आहे, तर त्यांच्या कडांचे (बाजूंचे) गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 3:4
स्पष्टीकरण : घनफळांचे गुणोत्तर = $(\frac{\text{बाजू}_1}{\text{बाजू}_2})^3 = \frac{27}{64} \rightarrow \frac{\text{बाजू}_1}{\text{बाजू}_2} = \frac{3}{4}$ म्हणजेच बाजूंचे गुणोत्तर 3:4 असेल.
12 सेमी बाजू असलेला धातूचा एक मोठा घन वितळवून 3 सेमी बाजू असलेले लहान घन तयार केले, तर एकूण किती लहान घन तयार होतील ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 64 घन
स्पष्टीकरण : लहान घनांची एकूण संख्या = $\frac{\text{मोठ्या घनाचे घनफळ}}{\text{लहान घनाचे घनफळ}} = \frac{12 \times 12 \times 12}{3 \times 3 \times 3} = 4 \times 4 \times 4 = 64$ घन.
जर एका घनाची बाजू दुप्पट केली, तर त्याचे घनफळ मूळ घनफळाच्या किती पट होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 8 पट
स्पष्टीकरण : घनाचे घनफळ हे बाजूच्या घनाच्या प्रमाणात असते. बाजू दुप्पट केल्यास नवीन घनफळ = $2^3 = 8$ पट होईल.
एका घनाचे घनफळ 729 घनसेमी. आहे, तर त्याचे एकूण पृष्ठफळ किती चौ.सेमी. असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 486 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : $(\text{बाजू})^3 = 729 \rightarrow \text{बाजू} = 9$ सेमी. एकूण पृष्ठफळ = $6 \times 9^2 = 6 \times 81 = 486$ चौ.सेमी.
जर एका घनाची प्रत्येक बाजू 20% ने वाढवली, तर त्याच्या एकूण पृष्ठफळात किती टक्क्यांनी वाढ होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 44%
स्पष्टीकरण : टक्केवारी वाढ = $a + b + \frac{ab}{100} = 20 + 20 + \frac{20 \times 20}{100} = 40 + 4 = 44\%$ वाढ होईल.
6 सेमी, 8 सेमी आणि 10 सेमी कडा असलेले तीन धातूचे घन वितळवून एक नवीन मोठा घन तयार केला, तर त्या नवीन घनाच्या कडेची लांबी किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 12 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{नवीन घनफळ} = 6^3 + 8^3 + 10^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728$. नवीन बाजू = $\sqrt[3]{1728} = 12$ सेमी.
एका घनाकृती पाण्याच्या टाकीची बाजू 2.5 मीटर आहे, तर त्या टाकीची पाणी साठवण्याची क्षमता किती लीटर आहे ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 15625 लीटर
स्पष्टीकरण : घनफळ = $2.5^3 = 15.625$ घनमीटर. लीटर क्षमता = $15.625 \times 1000 = 15625$ लीटर.
एका घनाचा कर्ण 5$\sqrt{3}$ सेमी आहे, तर त्या घनाचे एकूण पृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 150 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : $\text{बाजू} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \rightarrow \text{बाजू} = 5$ सेमी. एकूण पृष्ठफळ = $6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150$ चौ.सेमी.
एका घनाच्या बाजूमध्ये 10% घट केल्यास, त्याच्या घनफळात किती टक्के घट होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 27.1%
स्पष्टीकरण : सुरुवातीचे घनफळ 100% मानू. बाजू 10% कमी केल्यास नवीन घनफळ = $0.9 \times 0.9 \times 0.9 = 0.729 = 72.9\%$ होईल. घट = $100\% - 72.9\% = 27.1\%$ होईल.
महत्त्वाची सूचना 🔊 या सराव प्रश्नसंचामधील सर्व प्रश्न विविध संदर्भग्रंथ, मागील परीक्षांच्या प्रश्नपत्रिका आणि उपलब्ध शैक्षणिक स्रोतांच्या आधारे तयार करण्यात आले आहेत. प्रश्नांची उदाहरणे, आकडेवारी, सूत्रे व सोडवण्याच्या पद्धती यांची शक्य तितकी अचूकता राखण्याचा प्रयत्न करण्यात आला आहे. तरीही प्रश्न तयार करताना किंवा माहिती संकलन प्रक्रियेत चूक, टायपो, गणिती मांडणीतील त्रुटी किंवा उत्तरामध्ये फरक आढळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. जर या गणित प्रश्नसंचामध्ये कोणतीही चूक, अपूर्ण माहिती, चुकीचे उत्तर किंवा उत्तर सोडवण्याच्या पद्धतीमध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया खाली कमेंट बॉक्समध्ये नक्की कळवा, जेणेकरून आवश्यक ती दुरुस्ती करता येईल.