शंकू म्हणजे काय ?
एका काटकोन त्रिकोणाला त्याच्या काटकोन करणाऱ्या एका बाजूभोवती ३६० अंशात फिरवल्यास जी त्रिमितीय बंदिस्त भौमितिक आकृती तयार होते, तिला 'लंबवृत्तचिती शंकू' (Right Circular Cone) म्हणतात. दैनंदिन जीवनातील उदाहरणे म्हणजे वाढदिवसाची टोपी (Birthday Cap), आईस्क्रीमचा कोन (Ice-cream Cone), विदूषकाची टोपी, तंबू (Tent) इत्यादी.
शंकूचा अभ्यास करताना प्रामुख्याने तीन घटकांचा संबंध येतो:
- तळाची त्रिज्या ($r$): शंकूच्या वर्तुळाकार तळाची केंद्रबिंदूपासूनची लांबी.
- लंब उंची ($h$): शिरोबिंदूपासून तळाच्या केंद्रापर्यंतचे सरळ लंब अंतर.
- तिरकस उंची / कर्ण उंची ($l$): शिरोबिंदूपासून तळाच्या परिघावरील कोणत्याही बिंदूपर्यंतचे सरळ अंतर.
या तिन्हींमध्ये पायथागोरसच्या सिद्धांतानुसार $l^2 = r^2 + h^2$ हा मूलभूत संबंध असतो. या पोस्टमध्ये शंकूचे वक्रपृष्ठफळ, एकूण पृष्ठफळ, घनफळ, आकार रूपांतरण आणि शेकडा बदलावर आधारित 20+ पेक्षा जास्त महत्त्वाची प्रश्नोत्तरे सविस्तर स्पष्टीकरणासह समाविष्ट केली आहेत.
महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)
(येथे $r$ = तळाची त्रिज्या, $h$ = लंब उंची, $l$ = तिरकस उंची, $\pi = \frac{22}{7}$ किंवा $3.14$)
- तिरकस उंची ($l$) = $\sqrt{r^2 + h^2}$
- शंकूच्या तळाचे क्षेत्रफळ = $\pi r^2$
- शंकूच्या तळाचा परिघ = $2 \pi r$
- शंकूचे वक्रपृष्ठफळ (Curved Surface Area) = $\pi r l$
- शंकूचे एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area) = $\pi r (l + r)$
- शंकूचे घनफळ (Volume) = $\frac{1}{3} \pi r^2 h$
- शंकूच्या छेदाचे घनफळ (Frustum Volume) = $\frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$
एका शंकूच्या तळाची त्रिज्या $7\text{ cm}$ आणि उंची $24\text{ cm}$ आहे, तर त्याची तिरकस उंची किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
शंकूची तिरकस उंची काढण्याचे सूत्र: $l^2 = r^2 + h^2$
येथे त्रिज्या ($r$) $= 7\text{ cm}$ आणि उंची ($h$) $= 24\text{ cm}$
$l^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
$l = \sqrt{625} = 25\text{ cm}$.
एका शंकूच्या तळाची त्रिज्या $14$ सेमी आणि तिरकस उंची $20$ सेमी आहे, तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
शंकूचे वक्रपृष्ठफळ $= \pi r l$
येथे $r = 14$ सेमी, $l = 20$ सेमी
वक्रपृष्ठफळ $= \frac{22}{7} \times 14 \times 20$
$= 22 \times 2 \times 20 = 880$ चौ.सेमी.
एका शंकूच्या तळाची त्रिज्या $21$ सेमी आणि उंची $10$ सेमी आहे, तर त्या शंकूचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
शंकूचे घनफळ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h$
येथे $r = 21$ सेमी, $h = 10$ सेमी
घनफळ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 10$
$= 22 \times 21 \times 10 = 4620$ घनसेमी.
एका शंकूचे एकूण पृष्ठफळ $704$ चौ.सेमी. आहे. जर त्याची त्रिज्या $7$ सेमी असेल, तर त्याची तिरकस उंची किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
शंकूचे एकूण पृष्ठफळ $= \pi r(r + l)$
$704 = \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + l)$
$704 = 22 \times (7 + l)$
$7 + l = \frac{704}{22} = 32$
$l = 32 - 7 = 25$ सेमी.
दोन शंकूंच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर $2:3$ आणि त्यांच्या उंचीचे गुणोत्तर $9:4$ आहे, तर त्यांच्या घनफळांचे गुणोत्तर किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
घनफळांचे गुणोत्तर $= \frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \frac{h_1}{h_2}$
$= \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{9}{4} = \frac{4}{9} \times \frac{9}{4} = \frac{1}{1}$ म्हणजेच गुणोत्तर $1:1$ (समान) असेल.
एका शंकूची त्रिज्या दुप्पट केली आणि उंची निम्मी केली, तर त्याचे नवीन घनफळ मूळ घनफळाच्या किती पट होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
मूळ घनफळ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h$
नवीन त्रिज्या $= 2r$, नवीन उंची $= \frac{h}{2}$
नवीन घनफळ $= \frac{1}{3} \pi (2r)^2 \times \frac{h}{2} = \frac{1}{3} \pi \times 4r^2 \times \frac{h}{2} = 2 \times \left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)$
म्हणजेच नवीन घनफळ मूळ घनफळाच्या दुप्पट होईल.
$6$ सेमी त्रिज्या आणि $12$ सेमी उंची असलेला धातूचा एक दंडगोल वितळवून, तितकीच त्रिज्या असलेला एक शंकू तयार केला, तर त्या शंकूची उंची किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
दंडगोलाचे घनफळ $=$ शंकूचे घनफळ
$\pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2$ (दोन्हीची त्रिज्या समान आहे)
$12 = \frac{1}{3} h_2$
$h_2 = 12 \times 3 = 36$ सेमी.
एका शंकू आकाराच्या तंबूमध्ये $5$ व्यक्ती राहतात. प्रत्येक व्यक्तीला जमिनीवर बसण्यासाठी $16$ चौ.मी. जागा लागते आणि श्वास घेण्यासाठी $100$ घनमीटर हवा लागते, तर त्या तंबूची उंची किती असावी ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
तंबूच्या तळाचे क्षेत्रफळ $= 5 \times 16 = 80$ चौ.मी. म्हणजेच $\pi r^2 = 80$
एकूण आवश्यक हवा (घनफळ) $= 5 \times 100 = 500$ घनमीटर
शंकूचे घनफळ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h \rightarrow 500 = \frac{1}{3} \times 80 \times h$
$h = \frac{500 \times 3}{80} = \frac{150}{8} = 18.75$ मीटर.
एका शंकूचे वक्रपृष्ठफळ $1884$ चौ.सेमी. आहे आणि त्याची तिरकस उंची $20$ सेमी आहे, तर त्याची त्रिज्या किती ? ($\pi = 3.14$ घ्या)
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
वक्रपृष्ठफळ $= \pi r l$
$1884 = 3.14 \times r \times 20$
$1884 = 62.8 \times r$
$r = \frac{1884}{62.8} = 30$ सेमी.
एका शंकूच्या तळाचा व्यास $12$ सेमी आणि उंची $8$ सेमी आहे, तर त्याचे एकूण पृष्ठफळ किती ? ($\pi = 3.14$ घ्या)
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
व्यास $= 12$ सेमी $\rightarrow$ त्रिज्या ($r$) $= 6$ सेमी, उंची ($h$) $= 8$ सेमी
तिरकस उंची $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ सेमी
एकूण पृष्ठफळ $= \pi r(r + l) = 3.14 \times 6 \times (6 + 10)$
$= 18.84 \times 16 = 301.44$ चौ.सेमी.
जर एका शंकूची त्रिज्या $10\%$ ने वाढवली आणि उंची $20\%$ ने कमी केली, तर त्याच्या घनफळात काय बदल होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 4
स्पष्टीकरण :
घनफळ गुणोत्तर $= (\text{त्रिज्या})^2 \times \text{उंची}$ वर अवलंबून असते.
समजा मूळ त्रिज्या $10$ आणि उंची $10$ आहे, तर मूळ घटक $= 10 \times 10 \times 10 = 1000$
नवीन त्रिज्या $= 11$ ($10\%$ वाढ), नवीन उंची $= 8$ ($20\%$ कमी)
नवीन घटक $= 11 \times 11 \times 8 = 121 \times 8 = 968$
घट $= 1000 - 968 = 32$ म्हणजेच $\frac{32}{1000} \times 100 = 3.2\%$ ने कमी होईल.
एका शंकूाकृती विदुषकाच्या टोपीची त्रिज्या $3.5$ सेमी आणि उंची $12$ सेमी आहे. अशा $10$ टोप्या तयार करण्यासाठी किती चौ.सेमी. कापड लागेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
$r = 3.5 = \frac{7}{2}$ सेमी, $h = 12$ सेमी
तिरकस उंची $l = \sqrt{3.5^2 + 12^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5$ सेमी
$1$ टोपीचे वक्रपृष्ठफळ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times 12.5 = 11 \times 12.5 = 137.5$ चौ.सेमी.
$10$ टोप्यांचे क्षेत्रफळ $= 137.5 \times 10 = 1375$ चौ.सेमी.
एका शंकूचे घनफळ $1232$ घनसेमी. आहे आणि त्याची उंची $24$ सेमी आहे, तर त्याच्या तळाचा परिघ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
घनफळ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h \rightarrow 1232 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 24$
$1232 = \frac{176}{7} \times r^2 \rightarrow r^2 = \frac{1232 \times 7}{176} = 7 \times 7 \rightarrow r = 7$ सेमी
तळाचा परिघ $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44$ सेमी.
एका काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू $3$ सेमी आणि $4$ सेमी आहेत. त्याला $4$ सेमी बाजूभोवती (अक्ष धरून) फिरवल्यास तयार होणाऱ्या शंकूचे घनफळ किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 2
स्पष्टीकरण :
$4$ सेमी बाजूभोवती फिरवल्यास, उंची ($h$) $= 4$ सेमी होईल आणि त्रिज्या ($r$) $= 3$ सेमी होईल.
शंकूचे घनफळ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 3 \times 3 \times 4$
$= 3 \times 4 \times \pi = 12\pi$ घनसेमी.
एका शंकूचे वक्रपृष्ठफळ आणि तळाचे क्षेत्रफळ यांचे गुणोत्तर $5:3$ आहे. जर शंकूची उंची $16$ सेमी असेल, तर त्याचे घनफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 3
स्पष्टीकरण :
$\frac{\text{वक्रपृष्ठफळ}}{\text{तळाचे क्षेत्रफळ}} = \frac{\pi r l}{\pi r^2} = \frac{l}{r} = \frac{5}{3}$
समजा $l = 5x$ आणि $r = 3x$. आपण जाणतो की $l^2 = r^2 + h^2$
$(5x)^2 = (3x)^2 + 16^2 \rightarrow 25x^2 = 9x^2 + 256$
$16x^2 = 256 \rightarrow x^2 = 16 \rightarrow x = 4$
म्हणून, त्रिज्या ($r$) $= 3 \times 4 = 12$ सेमी
घनफळ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times 12 \times 16 = 2464$ घनसेमी.
एका शंकूची उंची 18 सेंटीमीटर व त्रिज्या 7 सेंटीमीटर आहे तर त्या शंकूचे घनफळ काढा ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 924 घन सेंटीमीटर
स्पष्टीकरण : दिलेली माहिती :
उंची $h=18$ सेंटीमीटर
त्रिज्या $r=7$ सेंटीमीटर
शंकूच्या घनफळाचे सूत्र :
$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$
दिलेली मूल्ये सूत्रात ठेवू :
$V=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times7^2\times18$
$=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times49\times18$
$49\div7=7$ आणि $18\div3=6$
$V=22\times7\times6$
$V=924$
म्हणून शंकूचे घनफळ $924$ घन सेंटीमीटर आहे.
Shortcut / Trick Method :
$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$
$r=7$ असल्यामुळे $\frac{22}{7}$ मधील 7 लगेच रद्द करता येतो आणि $h=18$ मधील 3 रद्द केल्यास :
$22\times7\times6=924$
21 मीटर तिरकस उंची व 8 मीटर तळाची त्रिज्या असलेला शंकू आकाराचा तंबू उभारण्यासाठी किती चौरस मीटर कापड लागेल
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 528 चौरस मीटर
स्पष्टीकरण : तंबू हा शंकूच्या आकाराचा असून तळ उघडा असतो. त्यामुळे तंबूसाठी आवश्यक कापड म्हणजे शंकूचे वक्र पृष्ठफळ.
दिलेली माहिती :
तिरकस उंची $l=21$ मीटर
त्रिज्या $r=8$ मीटर
शंकूच्या वक्र पृष्ठफळाचे सूत्र :
$CSA=\pi rl$
मूल्ये सूत्रात ठेवू :
$CSA=\frac{22}{7}\times8\times21$
$=\frac{22}{7}\times8\times21$
$21\div7=3$
$=22\times8\times3$
$=528$
म्हणून तंबूसाठी $528$ चौरस मीटर कापड लागेल.
Shortcut / Trick Method :
जेव्हा शंकूच्या आकाराच्या तंबूचा तळ उघडा असतो, तेव्हा फक्त वक्र पृष्ठफळ घ्यायचे :
$\pi rl$
येथे $l=21$ आणि $\frac{21}{7}=3$, म्हणून :
$22\times8\times3=528$
एका शंकूची तिरकस उंची 55 सेंटीमीटर व तळाची त्रिज्या 21 सेंटीमीटर आहे तर त्याचे संपूर्ण पृष्ठफळ काढा ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 5016 चौरस सेंटीमीटर
स्पष्टीकरण : दिलेली माहिती :
तिरकस उंची $l=55$ सेंटीमीटर
त्रिज्या $r=21$ सेंटीमीटर
शंकूच्या संपूर्ण पृष्ठफळाचे सूत्र :
$TSA=\pi r(l+r)$
प्रथम $l+r$ काढू :
$l+r=55+21=76$
आता सूत्रात मूल्ये ठेवू :
$TSA=\frac{22}{7}\times21\times76$
$21\div7=3$
म्हणून,
$TSA=22\times3\times76$
$=66\times76$
$=5016$
म्हणून शंकूचे संपूर्ण पृष्ठफळ $5016$ चौरस सेंटीमीटर आहे.
Shortcut / Trick Method :
संपूर्ण पृष्ठफळासाठी थेट :
$TSA=\pi r(l+r)$
येथे :
$l+r=55+21=76$
आणि $21\div7=3$
त्यामुळे :
$22\times3\times76=5016$
एका शंकूची त्रिज्या 5 सेंटीमीटर व उंची 12 सेंटीमीटर आहे तर त्याची तिरकस उंची काढा ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 13 सेंटीमीटर
स्पष्टीकरण : दिलेली माहिती :
त्रिज्या $r=5$ सेंटीमीटर
उंची $h=12$ सेंटीमीटर
शंकूची त्रिज्या, उंची आणि तिरकस उंची यांच्यात काटकोन त्रिकोणाचा संबंध असतो.
तिरकस उंचीचे सूत्र :
$l=\sqrt{r^2+h^2}$
मूल्ये सूत्रात ठेवू :
$l=\sqrt{5^2+12^2}$
$=\sqrt{25+144}$
$=\sqrt{169}$
$l=13$
म्हणून शंकूची तिरकस उंची $13$ सेंटीमीटर आहे.
Shortcut / Trick Method :
$5,12,13$ हा प्रसिद्ध पायथागोरस त्रिकूट आहे.
$5^2+12^2=13^2$
म्हणून थेट :
$l=13\text{ सेंटीमीटर}$
एका शंकूची त्रिज्या $3\text{ cm}$ आणि उंची $4\text{ cm}$ आहे, तर त्याचे घनफळ किती ? ($\pi = \frac{22}{7}$)
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्र. 1
स्पष्टीकरण :
शंकूचे घनफळ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h$
किंमती भरू: घनफळ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 4$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 9 \times 4 = \frac{22}{7} \times 3 \times 4 = \frac{264}{7} \approx 37.71$ घन सेमी.
महत्त्वाची सूचना 🔊 या सराव प्रश्नसंचामधील सर्व प्रश्न विविध संदर्भग्रंथ, मागील परीक्षांच्या प्रश्नपत्रिका आणि उपलब्ध शैक्षणिक स्रोतांच्या आधारे तयार करण्यात आले आहेत. प्रश्नांची उदाहरणे, आकडेवारी, सूत्रे व सोडवण्याच्या पद्धती यांची शक्य तितकी अचूकता राखण्याचा प्रयत्न करण्यात आला आहे. तरीही प्रश्न तयार करताना किंवा माहिती संकलन प्रक्रियेत चूक, टायपो, गणिती मांडणीतील त्रुटी किंवा उत्तरामध्ये फरक आढळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. जर या गणित प्रश्नसंचामध्ये कोणतीही चूक, अपूर्ण माहिती, चुकीचे उत्तर किंवा उत्तर सोडवण्याच्या पद्धतीमध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया खाली कमेंट बॉक्समध्ये नक्की कळवा, जेणेकरून आवश्यक ती दुरुस्ती करता येईल.