परिमेय संख्या – स्पर्धा परीक्षांसाठी महत्त्वाचे MCQ स्पष्टीकरणासह
अंकगणित विषयातील परिमेय संख्या हा स्पर्धा परीक्षांच्या दृष्टीने अत्यंत महत्त्वाचा घटक आहे. MPSC, PSI, STI, ASO, तलाठी, ग्रामसेवक, पोलीस भरती, वनरक्षक, आरोग्य सेवक, कर सहाय्यक, लिपिक-टंकलेखक तसेच विविध सरळसेवा भरती परीक्षांमध्ये परिमेय संख्यांवर आधारित प्रश्न विचारले जाऊ शकतात. त्यामुळे परिमेय संख्येची संकल्पना, तिचे स्वरूप आणि त्यावरील गणिती क्रिया समजून घेणे आवश्यक आहे.
या घटकामध्ये परिमेय संख्या MCQ, Rational Numbers in Marathi आणि Parimey Sankhya MCQ यांच्या माध्यमातून विविध प्रकारच्या प्रश्नांचा सराव करता येईल. ज्या संख्येला p/q या स्वरूपात लिहिता येते, जिथे p आणि q पूर्णांक असून q ≠ 0, त्या संख्येला परिमेय संख्या म्हणतात. त्यामुळे p/q रूप परिमेय संख्या ही या घटकातील महत्त्वाची संकल्पना आहे.
परिमेय आणि अपरिमेय संख्या फरक समजून घेणे स्पर्धा परीक्षांसाठी अत्यंत उपयुक्त आहे. परिमेय संख्या p/q या स्वरूपात व्यक्त करता येतात, तर अपरिमेय संख्या अशा स्वरूपात व्यक्त करता येत नाहीत. Rational vs Irrational Numbers Marathi या संकल्पनेचा सराव केल्यास दिलेली संख्या परिमेय आहे की अपरिमेय हे ओळखणे अधिक सोपे जाते.
Recurring Decimals Marathi म्हणजे आवर्ती दशांश ही परिमेय संख्यांशी संबंधित महत्त्वाची संकल्पना आहे. दशांश रूपामध्ये अंकांची पुनरावृत्ती होत असल्यास त्या संख्येचे स्वरूप ओळखणे आवश्यक असते. तसेच खंडित आणि अखंड आवर्ती दशांश यांमधील फरक समजून घेणे प्रश्न सोडवताना उपयुक्त ठरते.
Police Bharti Parimey Sankhya, MPSC Rational Numbers Questions आणि Talathi Bharti Parimey Sankhya MCQ या परीक्षाभिमुख तयारीसाठी परिमेय संख्यांवरील प्रश्नांचा नियमित सराव महत्त्वाचा आहे. अपूर्णांकाचे परिमेय रूप, दशांश रूप, संख्यांची तुलना आणि परिमेय संख्यांवरील गणिती क्रिया यांचा सराव केल्यास या घटकावर चांगली पकड निर्माण करता येईल.
या पेजवरील Parimey Sankhya Online Test Marathi च्या माध्यमातून विद्यार्थी स्वतःची तयारी तपासू शकतात. प्रत्येक प्रश्न काळजीपूर्वक सोडवून चुकीच्या प्रश्नांचे विश्लेषण केल्यास संकल्पना अधिक स्पष्ट होतील आणि परीक्षेतील प्रश्न सोडवण्याचा वेग व अचूकता सुधारण्यास मदत होईल.
चला तर मग, परिमेय संख्या MCQ च्या माध्यमातून या घटकाचा नियमित सराव करूया आणि महाराष्ट्रातील विविध स्पर्धा परीक्षांसाठी अंकगणिताची तयारी अधिक मजबूत करूया.
खालीलपैकी कोणती संख्या ही परिमेय संख्या आहे ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | √16
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: परिमेय संख्या म्हणजे अशी संख्या जी p / q या स्वरूपात लिहिता येते, जिथे p आणि q हे पूर्णांक असतात आणि q ≠ 0 असतो.
पायरी 2: दिलेल्या पर्यायांची तपासणी करू:
√7 = अपरिमेय संख्या (कारण 7 चे पूर्ण वर्गमूळ निघत नाही).
√16 = 4 = 4 / 1 (ही p / q स्वरूपात लिहिता येते, म्हणून ही परिमेय संख्या आहे).
√11 = अपरिमेय संख्या.
π = अपरिमेय संख्या (π ची दशांश किंमत अखंडित व अनावर्ती असते).
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 2 [√16]
0.454545... या आवर्ती दशांश अपूर्णांकाचे परिमेय (p / q) रूप कोणते आहे ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 5 / 11
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: समजा x = 0.454545... --- (समीकरण 1)
पायरी 2: येथे 2 अंकांचा गट आवर्ती आहे, म्हणून दोन्ही बाजूंना 100 ने गुणाकार करू:
100 × x = 45.454545... --- (समीकरण 2)
पायरी 3: समीकरण 2 मधून समीकरण 1 वजा करू:
100x - x = 45.454545... - 0.454545...
99x = 45
x = 45 / 99
पायरी 4: अंशाला आणि छेदाला 9 ने भाग देऊ:
x = (45 ÷ 9) / (99 ÷ 9) = 5 / 11
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 1 [5 / 11]
खालीलपैकी कोणती संख्या ही अपरिमेय संख्या आहे ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 3.14159265... (अखंडित व अनावर्ती)
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: ज्या संख्येचे दशांश रूप अखंडित आणि अनावर्ती (Non-terminating and non-recurring) असते, तिला अपरिमेय संख्या म्हणतात.
पायरी 2: पर्याय तपासू:
0.25 = 25 / 100 = 1 / 4 (खंडित दशांश, परिमेय संख्या).
√(144 / 169) = 12 / 13 (परिमेय संख्या).
3.14159265... = अंकांचे पुनरावलोकन होत नाही व भागाकार संपत नाही, म्हणून ही अपरिमेय संख्या आहे.
22 / 7 = दोन पूर्णांकांचा भागाकार (p / q स्वरूप), म्हणून ही परिमेय संख्या आहे.
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 3 [3.14159265... (अखंडित व अनावर्ती)]
2 / 5 आणि 3 / 4 या दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान असणारी परिमेय संख्या कोणती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 11 / 20
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: दिलेल्या अपूर्णांकांचे दशांश रूप काढू:
2 / 5 = 0.40
3 / 4 = 0.75
पायरी 2: आता पर्यायांचे दशांश रूप काढू:
पर्याय 1: 1 / 8 = 0.125 (0.40 पेक्षा लहान आहे)
पर्याय 2: 11 / 20 = 0.55 (0.40 आणि 0.75 यांच्या दरम्यान येते)
पर्याय 3: 9 / 10 = 0.90 (0.75 पेक्षा मोठे आहे)
पर्याय 4: 1 / 5 = 0.20 (0.40 पेक्षा लहान आहे)
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 2 [11 / 20]
(3 + √5) × (3 - √5) चे मूल्य किती आणि तिचा प्रकार कोणता ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 4, परिमेय संख्या
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: सूत्र वापरू: (a + b)(a - b) = a² - b²
येथे a = 3 आणि b = √5 आहे.
पायरी 2: सूत्रात किमती भरू:
(3 + √5)(3 - √5) = (3)² - (√5)²
= 9 - 5
= 4
पायरी 3: 4 = 4 / 1 ही एक परिमेय संख्या आहे.
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 1 [4, परिमेय संख्या]
खालील विधानांपैकी कोणते विधान अचूक आहे ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | प्रत्येक पूर्णांक संख्या ही परिमेय संख्या असते.
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: पर्याय 1 असत्य आहे, कारण वास्तव संख्यांमध्ये परिमेय व अपरिमेय अशा दोन्ही संख्या असतात.
पायरी 2: पर्याय 2 असत्य आहे, कारण उदा. (√3) + (-√3) = 0 (शून्य ही परिमेय संख्या आहे).
पायरी 3: पर्याय 3 सत्य आहे, कारण कोणताही पूर्णांक 'm' हा m / 1 या p / q स्वरूपात लिहिता येतो.
पायरी 4: पर्याय 4 असत्य आहे, कारण अपरिमेय संख्या या पूर्ण संख्या (0, 1, 2...) नसतात.
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 3 [प्रत्येक पूर्णांक संख्या ही परिमेय संख्या असते.]
(5 / √3) या संख्येच्या छेदाचे परिमेयकरण केल्यास कोणते रूप मिळेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | (5√3) / 3
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: छेदाचे परिमेयकरण करण्यासाठी अंशाला व छेदाला छेदातील करणीने (√3) गुणाकार करावा लागतो.
पायरी 2: (5 / √3) × (√3 / √3)
= (5 × √3) / (√3 × √3)
= (5√3) / 3
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 1 [(5√3) / 3]
0.2333... या आवर्ती दशांश अपूर्णांकाचे संक्षिप्त परिमेय रूप काय होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 7 / 30
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: समजा x = 0.2333...
पायरी 2: दोन्ही बाजूंना 10 ने गुणू (अनावर्ती अंक दशांश चिन्हाच्या डावीकडे आणण्यासाठी):
10x = 2.333... --- (समीकरण 1)
पायरी 3: आता दोन्ही बाजूंना 100 ने गुणू:
100x = 23.333... --- (समीकरण 2)
पायरी 4: समीकरण 2 मधून समीकरण 1 वजा करू:
100x - 10x = 23.333... - 2.333...
90x = 21
x = 21 / 90
पायरी 5: अंशाला आणि छेदाला 3 ने भाग देऊन संक्षिप्त रूप काढू:
x = (21 ÷ 3) / (90 ÷ 3) = 7 / 30
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 3 [7 / 30]
√12 × √3 चे सोपे रूप दिल्यास मिळणारी संख्या खालीलपैकी कोणती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 6 (परिमेय संख्या)
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: गुणाकाराचा नियम: √a × √b = √(a × b)
पायरी 2: √12 × √3 = √(12 × 3)
= √36
पायरी 3: 36 चे वर्गमूळ 6 येते.
6 = 6 / 1 ही एक परिमेय संख्या आहे.
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 2 [6 (परिमेय संख्या)]
खालीलपैकी कोणत्या अपूर्णांकाचे दशांश रूप 'खंडित' असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 17 / 80
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: नियम: जर संक्षिप्त अपूर्णांकाच्या छेदाचे मूळ अवयव फक्त 2 आणि 5 या स्वरूपात (2ᵐ × 5ⁿ) असतील, तरच त्याचे दशांश रूप खंडित असते.
पायरी 2: छेदांचे मूळ अवयव पाडू:
पर्याय 1 चा छेद: 12 = 2 × 2 × 3 (3 आल्यामुळे अखंडित)
पर्याय 2 चा छेद: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 (3 आल्यामुळे अखंडित)
पर्याय 3 चा छेद: 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 2⁴ × 5¹ (फक्त 2 व 5 आहेत, म्हणून हे रूप खंडित असेल)
पर्याय 4 चा छेद: 14 = 2 × 7 (7 आल्यामुळे अखंडित)
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 3 [17 / 80]
जर a = 2 + √3 असेल, तर (a + 1 / a) ची किंमत किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 4
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: दिलेले आहे a = 2 + √3.
पायरी 2: 1 / a ची किंमत काढू:
1 / a = 1 / (2 + √3)
छेदाचे परिमेयकरण करू:
1 / a = [1 × (2 - √3)] / [(2 + √3) × (2 - √3)]
1 / a = (2 - √3) / [(2)² - (√3)²]
1 / a = (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3
पायरी 3: आता (a + 1 / a) ची बेरीज करू:
a + 1 / a = (2 + √3) + (2 - √3)
= 2 + 2 + √3 - √3
= 4
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 1 [4]
खालीलपैकी कोणती संख्या ही परिमेय संख्या नाही ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | √0.4
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: 0 = 0 / 1 (परिमेय संख्या).
पायरी 2: √0.09 = 0.3 = 3 / 10 (परिमेय संख्या).
पायरी 3: √0.4 = √(4 / 10) = 2 / √10 (येथे छेदामध्ये √10 ही अपरिमेय संख्या असल्याने √0.4 ही अपरिमेय संख्या आहे).
पायरी 4: -15 / 7 हे p / q स्वरूपात आहे (परिमेय संख्या).
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 3 [√0.4]
एका परिमेय संख्येची आणि एका अपरिमेय संख्येची बेरीज किंवा वजाबाकी नेहमी कोणती संख्या असते ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | नेहमी अपरिमेय संख्या
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: गणिताच्या मूलभूत नियमानुसार, शून्येतर परिमेय संख्या (Rational) आणि अपरिमेय संख्या (Irrational) यांची बेरीज किंवा वजाबाकी ही नेहमी एक अपरिमेय संख्याच असते.
पायरी 2: उदाहरणार्थ: 3 (परिमेय) + √2 (अपरिमेय) = 3 + √2 (अपरिमेय संख्या).
तसेच 5 - √7 = अपरिमेय संख्या.
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 2 [नेहमी अपरिमेय संख्या]
√50 - √18 चे सोपे रूप काय होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 2√2
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: दिलेल्या करणींचे अवयव पाडून सोपे रूप देऊ:
√50 = √(25 × 2) = 5√2
√18 = √(9 × 2) = 3√2
पायरी 2: आता वजाबाकी करू:
√50 - √18 = 5√2 - 3√2
= (5 - 3)√2
= 2√2
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 2 [2√2]
2.13113111311113... ही संख्या कोणत्या प्रकारची आहे ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | अपरिमेय संख्या
स्पष्टीकरण :
पायरी 1: दिलेल्या दशांश संख्येचे निरीक्षण करा: 2.13113111311113...
पायरी 2: दशांश चिन्हाच्या उजवीकडे प्रत्येक वेळेस '1' ची संख्या वाढत जाते (13, 113, 1113...).
पायरी 3: त्यामुळे कोणताही एक निश्चित अंकांचा गट परत परत येत नाही (अनावर्ती आहे) आणि दशांश स्थान अखंड सुरू आहे (अखंडित आहे).
पायरी 4: ज्या संख्येचे दशांश रूप अखंडित आणि अनावर्ती असते ती 'अपरिमेय संख्या' असते.
म्हणून योग्य उत्तर = पर्याय क्र. 2 [अपरिमेय संख्या]
महत्त्वाची सूचना 🔊 या सराव प्रश्नसंचामधील सर्व प्रश्न विविध संदर्भग्रंथ, मागील परीक्षांच्या प्रश्नपत्रिका आणि उपलब्ध शैक्षणिक स्रोतांच्या आधारे तयार करण्यात आले आहेत. प्रश्नांची उदाहरणे, आकडेवारी, सूत्रे व सोडवण्याच्या पद्धती यांची शक्य तितकी अचूकता राखण्याचा प्रयत्न करण्यात आला आहे. तरीही प्रश्न तयार करताना किंवा माहिती संकलन प्रक्रियेत चूक, टायपो, गणिती मांडणीतील त्रुटी किंवा उत्तरामध्ये फरक आढळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. जर या गणित प्रश्नसंचामध्ये कोणतीही चूक, अपूर्ण माहिती, चुकीचे उत्तर किंवा उत्तर सोडवण्याच्या पद्धतीमध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया खाली कमेंट बॉक्समध्ये नक्की कळवा, जेणेकरून आवश्यक ती दुरुस्ती करता येईल.