समभुज चौकोनाची परिमिती आणि क्षेत्रफळ
द्विमितीय भूमितीमध्ये (2D Geometry) चौकोनांच्या विविध प्रकारांमध्ये समभुज चौकोन (Rhombus) हा अत्यंत वैशिष्ट्यपूर्ण आणि नियमित चौकोन मानला जातो. स्पर्धा परीक्षांमध्ये (MPSC, TCS/IBPS, तलाठी, पोलीस भरती) समभुज चौकोनाची परिमिती, कर्णांची लांबी, लंब उंची आणि पायथागोरस सिद्धांतावर आधारित प्रश्न हमखास विचारले जातात.
समभुज चौकोनाचे प्रमुख गुणधर्म:
- चारही बाजू समान लांबीच्या असतात ($AB = BC = CD = DA = a$).
- समोरासमोरील बाजू एकमेकांना समांतर असतात ($AB \parallel CD$ आणि $AD \parallel BC$).
- समोरासमोरील कोन समान मापाचे असतात ($\angle A = \angle C$ आणि $\angle B = \angle D$).
- लगतच्या कोनांची बेरीज $180^\circ$ असते ($\angle A + \angle B = 180^\circ$).
- कर्णांचे सर्वात महत्त्वाचे वैशिष्ट्य: दोन्ही कर्ण असमान लांबीचे असू शकतात, परंतु ते परस्परांना काटकोनात ($90^\circ$) दुभागतात (Perpendicular Bisectors).
- कर्ण चौकोनाचे चार समान क्षेत्रफळांच्या काटकोन त्रिकोणांमध्ये विभाजन करतात.
या पोस्टमध्ये समभुज चौकोनाची परिमिती, क्षेत्रफळ, कर्ण व बाजूंचा संबंध, पायथागोरस त्रिकुटे आणि शेकडा बदलावर आधारित 15+ पेक्षा जास्त महत्त्वाची प्रश्नोत्तरे सविस्तर स्पष्टीकरणासह दिली आहेत.
एका समभुज चौकोनाचे कर्ण अनुक्रमे 16 cm आणि 12 cm आहेत, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 96 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times \text{कर्णांचा गुणाकार} = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 8 \times 12 = 96$ चौ.सेमी.
एका समभुज चौकोनाची बाजू 10 सेमी आहे, तर त्याची परिमिती किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 40 सेमी
स्पष्टीकरण : समभुज चौकोनाच्या चारही बाजू समान असतात. परिमिती = $4 \times \text{बाजू} = 4 \times 10 = 40$ सेमी.
एका समभुज चौकोनाचे कर्ण 24 सेमी आणि 10 सेमी आहेत, तर त्या चौकोनाची बाजू किती सेमी असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 13 सेमी
स्पष्टीकरण : समभुज चौकोनाचे कर्ण एकमेकांना काटकोनात दुभागतात. कर्णांचे अर्धे भाग = $12$ सेमी व $5$ सेमी होतील. पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार: $\text{बाजू} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ सेमी.
एका समभुज चौकोनाची परिमिती 52 सेमी असून त्याचा एक कर्ण 10 सेमी आहे, तर दुसऱ्या कर्णाची लांबी किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 24 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{बाजू} = \frac{52}{4} = 13$ सेमी. पहिल्या कर्णाचा अर्धा भाग = $5$ सेमी. दुसऱ्या कर्णाचा अर्धा भाग = $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$ सेमी. त्यामुळे संपूर्ण दुसरा कर्ण = $2 \times 12 = 24$ सेमी होईल.
एका समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ 120 चौ.सेमी असून त्याचा एक कर्ण 15 सेमी आहे, तर दुसऱ्या कर्णाची लांबी किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 16 सेमी
स्पष्टीकरण : क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \rightarrow 120 = \frac{1}{2} \times 15 \times d_2 \rightarrow d_2 = \frac{120 \times 2}{15} = 16$ सेमी.
जर समभुज चौकोनाचे दोन्ही कर्ण दुप्पट केले, तर त्याचे क्षेत्रफळ मूळ क्षेत्रफळाच्या किती पट होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | चौपट
स्पष्टीकरण : नवीन क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times (2d_1) \times (2d_2) = 4 \times (\frac{1}{2} d_1 d_2)$. म्हणजेच क्षेत्रफळ मूळ क्षेत्रफळाच्या $4$ पट (चौपट) होईल.
एका समभुज चौकोनाची बाजू 5 सेमी आणि एक कर्ण 6 सेमी आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 24 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : बाजू = $5$ सेमी, एका कर्णाचा अर्धा भाग = $3$ सेमी. दुसऱ्या कर्णाचा अर्धा भाग = $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ सेमी $\rightarrow$ दुसरा कर्ण = $8$ सेमी. क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ चौ.सेमी.
एका समभुज चौकोनाची बाजू 13 सेमी असून क्षेत्रफळ 120 चौ.सेमी आहे, तर त्याच्या कर्णांची बेरीज किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 34 सेमी
स्पष्टीकरण : बाजू $13$ सेमी आणि क्षेत्रफळ $120$ चौ.सेमी असल्यास कर्ण $24$ सेमी व $10$ सेमी येतात. म्हणून कर्णांची एकूण बेरीज = $24 + 10 = 34$ सेमी.
एका समभुज चौकोनाचा एक कर्ण दुसऱ्या कर्णाच्या तिप्पट आहे. जर त्याचे क्षेत्रफळ 24 चौ.सेमी असेल, तर लहान कर्ण किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 4 सेमी
स्पष्टीकरण : लहान कर्ण $x$ मानल्यास मोठा कर्ण $3x$ होईल. क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times x \times 3x = 24 \rightarrow \frac{3}{2}x^2 = 24 \rightarrow x^2 = 16 \rightarrow x = 4$ सेमी.
समभुज चौकोनाची परिमिती 68 सेमी आहे, तर त्याची बाजू किती असेल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 17 सेमी
स्पष्टीकरण : $\text{बाजू} = \frac{\text{परिमिती}}{4} = \frac{68}{4} = 17$ सेमी.
एका समभुज चौकोनाचे कर्ण 18 सेमी आणि 24 सेमी आहेत, तर त्याची परिमिती किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 60 सेमी
स्पष्टीकरण : कर्णांचे अर्धे भाग $9$ सेमी व $12$ सेमी होतील. $\text{बाजू} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$ सेमी. परिमिती = $4 \times 15 = 60$ सेमी.
एका समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ 50 चौ.मी. आहे आणि त्याचा एक कर्ण 10 मीटर आहे, तर दुसरा कर्ण किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 2 | 10 मीटर
स्पष्टीकरण : $50 = \frac{1}{2} \times 10 \times d_2 \rightarrow 50 = 5 \times d_2 \rightarrow d_2 = 10$ मीटर.
जर समभुज चौकोनाचा फक्त एक कर्ण 20% ने वाढवला, तर त्याच्या क्षेत्रफळात किती टक्के वाढ होईल ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 4 | 20%
स्पष्टीकरण : समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कर्णाच्या लांबीशी थेट समप्रमाणात असते, त्यामुळे एका कर्णात झालेली $20\%$ वाढ ही थेट क्षेत्रफळाची वाढ दर्शवते.
समभुज चौकोनाचा पाया 8 सेमी आणि उंची 5 सेमी असेल, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 1 | 40 चौ.सेमी.
स्पष्टीकरण : प्रत्येक समभुज चौकोन हा समांतरभुज चौकोन देखील असतो. त्यामुळे क्षेत्रफळ = $\text{पाया} \times \text{उंची} = 8 \times 5 = 40$ चौ.सेमी.
एका समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ 96 चौ.सेमी असून बाजू 10 सेमी आहे. जर त्याचा एक कर्ण 12 सेमी असेल, तर दुसरा कर्ण किती ?
📋 योग्य उत्तर : पर्याय क्रमांक - 3 | 16 सेमी
स्पष्टीकरण : $96 = \frac{1}{2} \times 12 \times d_2 \rightarrow 96 = 6 \times d_2 \rightarrow d_2 = 16$ सेमी.
महत्त्वाची सूचना 🔊 या सराव प्रश्नसंचामधील सर्व प्रश्न विविध संदर्भग्रंथ, मागील परीक्षांच्या प्रश्नपत्रिका आणि उपलब्ध शैक्षणिक स्रोतांच्या आधारे तयार करण्यात आले आहेत. प्रश्नांची उदाहरणे, आकडेवारी, सूत्रे व सोडवण्याच्या पद्धती यांची शक्य तितकी अचूकता राखण्याचा प्रयत्न करण्यात आला आहे. तरीही प्रश्न तयार करताना किंवा माहिती संकलन प्रक्रियेत चूक, टायपो, गणिती मांडणीतील त्रुटी किंवा उत्तरामध्ये फरक आढळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. जर या गणित प्रश्नसंचामध्ये कोणतीही चूक, अपूर्ण माहिती, चुकीचे उत्तर किंवा उत्तर सोडवण्याच्या पद्धतीमध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया खाली कमेंट बॉक्समध्ये नक्की कळवा, जेणेकरून आवश्यक ती दुरुस्ती करता येईल.